SKANCK DU I'' FÉVRIER 1909. 278 



Je me suis occupé d'une question voisine de celles-là, savoir la recherche 

 des cas où l'intégiale générale 



(1) /(.r, j,«, p)=o, 



de l'équation différentielle des géodésiques, est du second degré en a, p. 



De tels cas (différents, comme on voit, de ceux que traite M. Drach ) s'en 

 rapprochent cependant en ce que l'équation (i), considérée comme reliante; 

 cl y, fait évidemment partie d'un certain faisceau à cinq paramètres. 



J'ai été conduit à les envisager par leurs rapports avec ce que j'ai, dans 

 un précédent article inséré au Bulletin de la Société mathérnalique de France Q) 

 appelé Vintégrale corrélative, et dont l'élude a fait depuis l'objet des recherches 

 de M. Koppisch (-). L'intégrale corrélative n'est autre chose que l'équa- 

 tion (i) considérée comme reliant a et [3, x et j' étant regardés comme des 

 constantes. Si l'on élimine ces constantes, on arrive à une équation 



(2) (3"=P-(a,(3,P') 

 qui est dite la corrélative de l'équation 



(2') ^ y"=u,(a;y,y'), 



obtenue par l'élimination de a, [!5 considérées comme constantes arbitraires. 



Les invariants différentiels (et équations invariantes) de chacune des 

 équations (2) et (2) (tels que les a obtenus M. Tresse) ont leurs corrélatifs 

 dans l'autre; et c'est précisément le plus simple de ces corrélatifs qu'a 

 déterminé M. Koppisch (^). 



L'équation corrélative (2) conduirait à un nouveau mode d'étude des 

 géodésiques. 11 ressort en effet d'un résultat de M. Darboux (*) que, en 

 posant 



la condition nécessaire et suflisanle pour que l'équation (2') soit géodésique 



(') Tome XXX, 1902, p. 208. 



(-) Tlièse, Greifswald, igoS. 



(') Les invariants en question ne sont autres que ceux de l'équation (i), vis-à-vis du 

 groupe des transformations ponctuelles elTectuées (indépendamment) tant sur x, y 

 que sur jc, (3; et cette remarque conduirait sans doute à une détermination relative- 

 ment aisée des corrélatifs en question. 



(') Lcrons sur la théorie des surfaces, t. 11, p. 433. 



