SÉANCE DU r'' FÉVRIER I909. ayS 



voisinage de chaque point transcendani, je définis les propriétés des inté- 

 grales en considérant certaines substitutions simples de deux paramètres 

 convenablement choisis, soit C,, C, pour l'infini; C, , C, pour ^\ C", , 

 C" pour 2. Puis j'étudie les fonctions C,(C', ), C,(C", ), ... en les suivant 

 avec continuité durant la variation des coefficients a, ^ [partis de valeurs 

 pour lesquelles les fonctions C,(C', ), ... soient connues]. 



Proposons-nous, par exemple, d'étudier la fonction C,(C', ). Nous ne 

 conserverons, pour commencer, qu'un coefficient arbitraire a, et nous 

 ferons 



(3 = 2« 4- I. 



Dans ces conditions, l'équation (i) admet la solution polynomale 



Traçons un cercle de grand rayon D, un petit cercle y' autour de [3, un petit 

 cercle y" autour de x= 2.. Les branches d'intégrales voisines de P seront 

 liolomorphes en toute région du plan extérieure à y', y" et intérieure à D. 

 Elles seront représentées : sur le contour D, par un développement en a?""' et 

 (C, + y], \ogx)x~--^ sur le contour y', par un développement en (x — ^) 

 et C\(x — [îy-; sur le contour y", par un développement en (x — 1) et 



C,(x--2f"'. 



Nous nous placerons tout d'abord dans le cas qui se trouve être le plus 

 simple : celui où /a partie réelle de X', est positive. En ce cas, le développe- 

 ment en {x — p"), C'i (x — [3 y'- converge dans tout y' ; de plus, nous pouvons 

 toujours prendre y' assez petit pour que ce développement y converge 

 quelque grand que soit | C\ \. Pareillement, nous pouvons toujours prendre D 

 assez grand pour que le développement en C, converge hors de D, quel que 

 soit [C, |. Traçons alors une droite a^'a; joignant un point du contour y' à un 

 point du contour D : l'intégrale qui prend en x' une valeur initiale z' voisine 

 de P^x') prendra en x (si nous la suivons le long de x' x) une valeur z voi- 

 sine de P(.'r); d'ailleurs 2 sera, d'après un théorème bien connu, fonction 

 holomorphe de la valeur initiale z'; et, puisque :;', s sont respectivement 

 fonctions holoraorphes de C, et C,, la fonction C,(C'|) sera définie sans 

 ambiguïté pour les petites valeurs de C\ et C,[C'| et C, s'annulent en 

 même temps lorsque 3 = P, c'est-à-dire pour la valeur initiale z' = P{x')]. 

 Pour continuer la fonction C,(C',) dans tout le plan, nous n'aurons qu'à 

 faire varier C, et, par suite, z', et à [déformer d'une manière continue le 



