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chemin x-'iT (en en déplaçant au besoin les extrémilés) de façon que ce 

 chemin ne traverse jamais aucun point critique de la branche d'intégrale 

 suivie : tant qu'il sera possible de satisfaire à cette condition, C,(C,) ne 

 cessera pas d'être holomorphe. On en conclut que la fonction C, (C, ) 

 n'admettra comme singularités que les valeurs exceptionnelles de C\ pour 

 lesquelles le chemin x'x est contrahit de traverser un point singulier 

 transcendant de l'équation (i) [il est clair, en effet, que les points singuliers 

 algébriques peuvent toujours être évités (')J. .l'ajoute que, de quelque ma- 

 nière que varie C, , le chemin x' x ne traversera jamais l'infini: c'est là une 

 conséquence des propriétés des caractéristiques de l'équation (i ) à rinfnii, 

 propriétés que j'ai étudiées ailleurs {Leçons sur les fondions définies par les 

 équations différentielles du premier ordre, Chap. II). La fonclion (]!,(€,) 

 ne pourra donc, en définitive, être singulière que lorsque r' x traversera 

 l'un des points a, 2, [3. Elle aura au moins trois singularités. Se pourrait-il 

 qu'elle n'en eût que trois? 



Pour répondre commodément à cette question, il sera avantageux de la 

 présenter sous une nouvelle forme. Nous avons raisonné tout à l'heure 

 sur un chemin x' x dont les extrémités peuvent varier en fonction (non 

 explicitement donnée) de C, et C,. Nous éviterons cette complication en 

 faisant un changement de variable. Appelons A une intégrale représentée 

 sur y' par le développement de Briol et Bouquet, où l'on donne à C, une 

 valeur particulière g. Nous savons que, si g était voisin de o, l'intégrale c'R. 

 (suivie sur le rayon x' x) serait représentée sur D par le développement 

 en C,. Mais il est possible de donner à g une valeur telle que A soit repré- 

 sentée sur D par le développement en C... Alors, on a dans D 



3;R =r — 3. r'— (2 3( + 2(3 + i).ï + fonction continue de .r~', 



tandis qu'une branche d'intégrale z voisine de P est de la forme 



Ss rr: 3x- — ( 2 C. -f- 2 [3 H- 7 ).r -f- fonction continue de a'~'. 



(') Le raisonnement que j'esquisse ici est imité de celui qu'a employé M. Painlevé 

 pour étudier l'intégrale d'une équation différentielle en fonction de la constante d'in- 

 légration. Seulement, M. Painlevé considère un chemin x' x d'extrémités fixes, en 

 sorte que la fonction qu'il étudie [c'est la fonction :(:;')] estnécessairement singulière 

 lorsqu'un point critique algébrique vient à coïncider avec l'extrémité x. Celte circon- 

 stance ne se présente pas pour mon extrémité .^•, que je reste libre d'éloigner tant qu'il 

 me plaît vers l'infini; l'éloignement de x modifie z, mais non pas C,, puisque le déve- 

 loppement en x-^ et (C, ^- n, log.r)a— ^ est défini d'une manière univoque pour x 

 arbitrairement grand. 



