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18 janvier 1909), on obtient, par un calcul simple, en ne tenant compte 

 que des identités (7), (8) de cette Note, la relation 



=7+1 



/'^^ 2: /^Sr^-^=^^' 



U étant une fonction qui se détermine par une simple quadrature. 



Appli({uant au cas considéré le théorème généralisé de Jacobi, formons p 

 fonctions F, par la méthode indiquée dans ma Note. 



Les égalités 



p 



ijiin '^ c) — ^V '■m.eij lin Jj) + ^m.ci 

 /■=1 



où 



e,„^è^o si rn::l: £,,,^=1 si m ^= l, 



auxquelles satisfont toujours les fonctions F,, (voir ma Note précédente), se 

 réduisent dans le cas considéré, pour les valeurs de m = i, 2, . . ., y, aux 

 suivantes : 



( /m, F.) = £m,,- ('"=1,2, ■■■,(/)• 



On en conclut immédiatement (pic, e/ilre les fonctions F,, Fj, . . ., F^, ne 

 peut exister aucune relation de la forme 



<D(F,, F.„ ..., F,) = o, 



et que les fonctions Fa('^' ^ Ij -)•••> 7) ^f^"' aussi indépendantes de p fonc- 

 tions fj(J= I, 2, ..., p). 



Prenons maintenant à volonté cerlains des indices i, 2, . . ., y, en les dési- 

 gnant successivement par À,, À^,, ..., >y, cl supprimons de la série de g 

 fonctions V/,(^' = ij 2, . . ., y ) celles qui corri'cspondent aux indices A. 



O/î obtient ainsi un système normal de ij. équations linéaires 



(') (/x„/) = o, (/>,^,/)=o, ..., (/x^,/) = o, 



et la suite de fonctions indépendantes 



fj (y ^',2, ...,p), 



Fi, F,, .... F),j_i, F),|4.,, .5., F>,_i, \'-i...+\, ..., l'),|,-i, F)>|>+i, •••) F"'/ 



qui représentent, évidemment, un système complet des intégrales distinctes des 

 équations (1). 



Si l'on suppose, en particulier, que q =^ n^ on obtient le théorème suivant : 



Soit fi(i=^i,2,...,n)un système normal de n fonctions de in variables 



