SÉANCE DU 8 FÉVRIER 1909. 333 



fournit l'intégration de Tautre. Car les solutions principales (j,, ..., y„) 

 de (4) et ((',, ..., i'f,) de (5), qui correspondent à i = /„, se mettent respec- 

 tivement sous la forme (2) et (3), les a étant alors des fonctions convena- 

 blement choisies de /, et ces fonctions a se déterminant sans intégration, 

 par simple identification, quand on connaît l'une des deux solutions princi- 

 pales. 



L'intégration d'une équation (4) donnée revient donc à la recherche des 

 isomorphismes du groupe G correspondant, c'est-à-dire à l'étude de sa 

 structure. Dans le cas du système (i), il s'agit du groupe linéaire homogène 

 qui laisse invariante la forme quadratique 



,^H, 



groupe dont la structure a été étudiée par Liie, Werner, Killing, Cartan. 

 2. Cas n^4 (')• ~ Introduisons les qualernions suivants (unités : t,, 



Ç =:r £i.r, H- ejiCj -h £3.1-3 -t- a\, n = £i/, -I- £5/2 -+- £3/:! + 74, 



a 1= £ia, 4- £.><72 -h E^fh-h Cli, (3 =1 c, 6, -t- £260 -1- l:sl'3+ ^41 



en supposant égaux à i les modules de a et [i. On a alors, pour (2) et (3 ), 



(G) {3y)— £a on rj = (3„U ((3(3„=i); 



(H) ''i=77T —- — —77. 7 — ;' ''2~ 



Puis 



^. d d d à 



^, = -^i-, •'■2 1 1- ••'■■, 1 -'"1 1— ' 



a.i\ «.'3 (J.f\ 0.1,, 



^, d ô à 



d^i dx3 ojc, d.Vi, 



Xo et Xj par perm. cire, de x-,, a;;;, a;,; X5 et X„ par perm. cire, de .i,, x-.^, j-j 



- iT ■ (^ iT ■ -, d I, / -^ d 



U,— îiiit-—, U5=<(i — »;)-—, U3=(i ->-//j)--— , 

 f)iii (/l't ''"1 



LÎ4=2/«,-^— , U6= /(i — k;)-t— , UsI=(i + m2)-- — , 



diu ' du, ' du. 



(') Nous retrouvons, sous forme plus condensée, des foimules équivalentes à celles 

 de M. Darboux. La correspondance que nous utilisons, entre les qualernions et les 

 transformations projectives à une variable, païaît due à Laf^uerre. 



