336 ACADÉMIK DES SCIENCES. 



vée n'""^^ de la fonction e~ '', peut se mettre sous la forme 



(j) 





[P,,(.r) P,^^,(a) - P,^(a) P,^^i(x)] ^_^, ^^ 



En appliquant le théorème de la moyenne à cette intégrale, on démontre 

 que si x est extérieur à l'intervalle (a, b) l'inégalité 



(2) |If'/(^)|< ^^^' 



\x-l\q^ 



est satisfaite, X étant celle des deux quantités a el b qui est la plus voisine 

 de £r et K étant un nombre fini indépendant de x, a, b, q. Si les deux limites 

 de l'intégrale sont respectivement soit a; et 4- ao, soit — coet a;, la somme (i) 



tend uniformément vers — quand q augmente indéfiniment. L'inégalité (2) 



permet alors de démontrer que !"'*(«-■) tend uniformément vers zéro si j? est 

 extérieur à l'intervalle a, b quand q augmente indéfiniment; ce même ré- 

 sultat subsiste si l'une des deux limites de l'intervalle est infinie; enfin si la 

 valeur absolue de la différence x — a tend vers zéro comme q~^^ j3 étant infé- 

 rieur à -, la limite de Y^^{x) et de Y;^{x) pour q infini est ^• 



Soit une fonction /(a?) qui, dans l'intervalle (a, 6), n'admet qu'un 

 nombre fini de maxima ou de minima et présente un nombre fini de points 

 de discontinuité en chacun desquels /(a; H- A) et/(a; — h) tendent chacune 

 vers une limite quand h tend vers zéro ; en vertu des résultats précédents, 

 on démontre que la série 



Po(x) r /(a)P„(a)e-»Va 



J n 



a une somme nulle si x est extérieur à l'intervalle (a, è); cette somme est 



gai 



égale à —f{a) si x est égal à a, à —J{b) si x est égal à 6 et à 



■[/(.r-f-£)-H/(jc — £)1. 

 si V est compris dans l'intervalle (a, b). Ces résultats s'étendent à un inter- 



