' ACADÉMIE DES SCIENCES 



SÉANCE DU LUNDI U> FÉVRIER 1909. 



PRÉSIDENCE DE M. Emile PICAUD. 



MEMOIRES ET COMMU.XICATlOrVS 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALI:. — Constniclion des systèmes orthogonaux 

 qui comprennent une famille de cyclides de Dupin. Note de M. Gastox 

 Darboux. 



Dans une Note présentée à l'Académie le i'"'' février 1909 (p. 'iCn) de ce 

 Volume), M. A. Denioulin revient sur la détermination que j'ai donnée, 

 l'année dernière, des systèmes triples orthogonaux qui comprennent une 

 famille de cyclides de Dupin, et il oblientune interprétation géométrique très 

 élégante des conditions analytiques auxquelles j'avais été conduit dans nia 

 seconde solution, celle qui repose sur l'emploi des coordonnées pentasphé- 

 riques (voir les Notes des Comptes rendus et le Mémoire détaillé inséré au 

 Tome LI des Mémoires de l' Académie, p. 20). 



Je voudrais revenir ici sur la proposition de M. Demoulin pour la com- 

 pléter, en la rattacliant à ma première solution, et pour montrer comment on 

 obtient effectivement, par une construction géométrique ne laissant place à 

 aucune indétermination, les familles de Lamé qui sont composées de cyclides 

 de Dupin. 



I . Je rappellerai d'abord cjuelques propriétés élémentaires de la cyclide. 

 On sait que ses cercles de courbure passent, les uns par deux points a, a\ les 

 autres par deux points b, b' , et que le quadrilatère aba' b'a apparticnl à la 

 catégorie de ceux dont j'ai si souvent étudié les propriétés et dont tous les 

 côtés sont de longueur nulle. Les sphères de rayon nul formées j)ar les 

 [)oints a, a' se coupent suivant un cercle (K') passant en />, />'; les points- 

 sphèi'es è, b' se coupent de même suivant un cercle ( K) qui contient les 



C. R., 1909, I" Semestre. (T. CXLVIII, N- 7.) 5o 



