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points a, a'. Les tangentes au cercle (K) en a et a', les tangentes *au 

 cercle (K') en b, b' concourent en un même point O. Ce point est le centre 

 de la sphère (S) qui passe en «, 6, a', b' et qui contient, par conséquent, les 

 côtés du quadrilatère aba'b'a. Les cercles (K) et (K'), que j'ai appelés les 

 cercles focaux de la cyclide, sont orthogonaux à la sphère (S), que nous 

 désignerons sous le nom de sphère principale. 



Le quadrilatère aba'b' ou, si l'on veut, les cercles focaux et la 

 sphère (S), ne suffisent pas à définir la cyclide. H y a une infinité de 

 cyclides ayant les mêmes quatre points doubles. Elles sont engendrées, 

 soit par les cercles qui coupent le cercle (K) en a, a' et font avec lui un 

 angle constant '^, soil par les cercles qui coupent le cercle (K') en 6, b' et 

 font avec lui un angle constant '\i. Pour une même cyclide, les angles o et .]> 

 sont liés par la relation 



sinç sin t|> =: I. 



Lorsqu'on se donne les points doubles ou, si l'on veut, les cercles focaux, 

 les deux coniques focales qui sont les lieux des centres des deux séries de 

 sphères inscrites à la cyclide sont tangentes. Tune en «, a' au cercle (K), 

 l'autre en 6, b' au cercle (R'). 



Enfin, la cyclide est coupée a angle droit, et suivant un cercle de cour- 

 bure, par les sphères qui contiennent l'un des deux cercles focaux. 



Dans toutes ces propriétés, il y en a un grand nombre, et c'est là une 

 remarque essentielle, qui sont en quelque sorte indiflerenles à l'inversion. 

 Si l'on soumet, en effet, la cyclide à cette transformation, les points 

 doubles, les cercles focaux, la sphère (2) se transforment dans les élé- 

 ments analogues relatifs à la transformée. Les angles ip et i|; sont également 

 conservés. 



2. Ces points étant rappelés, considérons une famille quelconque de 

 sphères (S). Leurs centres M décrivent une courbe que j'appellerai (M). 

 Le plan radical de (S) et A'nne sphère infiniment voisine appartenant à la 

 famille coupe (S) suivant un cercle (K), qui est le cercle de contact 

 de (S) avec son enveloppe (E). Le centre du cercle (K) se trouve sur la 

 tangente en M à (M), et son plan est perpendiculaire à cette tangente. 



Prenons maintenant l'axe radical de (S) et de deux sphères infiniment 

 voisines. Cet axe radical coupera le cercle (K) en deux points a, a', qui 

 seront les points d'intersection des trois sphères infiniment voisines. Les 

 points a, a' décriront respectivement des courbes (A), (A'), qui seront les 

 deux branches de l'arête de rebroussement de l'enveloppe (E) et seront 



