SÉANCE DU l5 FÉVRIER 1909. 387 



tangentes respectivement en a, a' au cercle (K); de telle manière que, 

 contrairement à ce qui a lieu d'habitude, ce cercle aura une enveloppe à 

 deux branches, composée des courbes (A), (A) qu'il touchera en «, a 

 respectivement. 



Prenons maintenant le centre radical de (S) et de trois sphères inlini- 

 ment voisines. Ce centre radical sera à l'intersection de la droite aa' et 

 de sa position infiniment voisine. On peut dire que le plan du cercle (K) 

 enveloppe une dévelop'pable qu'il touche suivant la droite aa'; cette droite 

 touche à son lour l'arête de rebroussement de la développable, arête que 

 nous désignerons par (P), en un point P, qui est évidemment le centre 

 radical de (S) et des trois sphères infiniment voisines, c'est-à-dire qui est le 

 centre d'une sphère ( T) orthogonale à (S) et aux trois sphères infiniment voi- 

 sines . 



3. Ainsi à toute famille de sphères (S), on peut associer une autre 

 famille de sphères ( T), déterminée par la condition que Çï) soit orthogonale 

 à (S) et à trois sphères infiniment voisines de ta première famille. Il y a là 

 une notion qui doit jouer un rôle essentiel dans l'étude si imporlante des 

 familles de sphères. 



J'ajoute que la relation entre les deux familles de sphères est réciproque. 

 Chacune d'elles joue le même rôle par rapport à l'autre. Pour le voir, sans 

 calcul, on peut raisonner comme il suit. 



Prenons dans la première famille une suite discrète de sphères infiniment 



voisines 



(S,). (S,), (S3). (S;), (S,) (S,-) 



Construisons les sphères 



(T,). (T,). (T3). (T,). (T5) iT,) 



(T,) étant orthogonale aux quatre premières sphères de la première suite, 

 (Ta) à celles de rang 2, 3, 4» 5; (T,) à celles de rang 3, 4, 5, 6, et ainsi de 

 suite. Il est clair que, de même que (T,) est orthogonale à (S,) et aux 

 trois sphères qui la suivent, (S.i) est orthogonale à (T,,) et aux trois sphères 

 qui la précèdent. En supposant que la première suite se resserre de plus en 

 plus, on obtient la propriété de réciprocité qu'il s'agissait d'établir et que, 

 d'ailleurs, le calcul met aussi en évidence presque immédiatement. 



4. D'après cela, si l'on considère les sphères (Tj, le plan radical de (T) 

 et d'une sphère infiniment voisine coupera (T) suivant un cercle ( K'). L'axe 



