388 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



radical de (T) et de deux sphères infiniment voisines sera la tangente en M 

 à (M) et coupera le cercle (K') en deux points b, b', qui décriront des 

 courbes (B), (B'). Ces courbes seront les arêtes de rebroussement de l'enve- 

 loppe (E') des sphères (T) et seront tangentes à (K'). Les points a, a', qui 

 sont les points d'intersection de trois sphères (S) orthogonales à la fois 

 à (T) et à la sphère infiniment voisine de cette seconde série, seront par cela 

 même à une distance nulle de tous les points du cercle (K'); et, de même, 

 b, b' seront à une dislance nulle de tous les points du cercle ( K). De sorte 

 que les deuv cercles (Iv), (K') et les quatre points a, «', Z>, b' seront entre eux 

 dans la relation que nous avons reconnue aux deux cercles focaux et aux 

 quatre points doubles d'une cyclide de iJupin. 



Le centre de la sphère (X)qui contient les côtés du quadrilatère aba'b' 

 est le pôle de aa' par rapport au cercle (K), ou celui de bb' par rapport au 

 cercle (K). Par suite, conformément à la proposition de M. Demoulin, cette 

 sphère est normale, en a, a', b, b', respectivement, aux cercles {K) et (K'), 

 c'est-à-dire aux courbes (A), (A'), (B), (B') décrites par ces quatre points. 

 On peut encore la définir en remarquant qu'elle coupe à angle droit (S) et la 

 sphère infiniment voisine de la même famille, (T) et la sphère infiniment 

 voisine de la seconde famille. 



5. Il n'y a plus, pour obtenir la famille de Lamé la plus générale composée 

 de cyclides de Dupin, qu'à construire les cyclides admettant les quatre 

 poiifts doubles variables a, b, a', b'. Elles pourront être engendrées, par 

 exemple, par des cercles coupant le cercle (Iv) aux points a, a' et faisant 

 avec lui un angle constant, qui pourra varier quand on passera d'une cyclide 

 à l'autre. Les deux familles complétant le système triple seront composées 

 d'enveloppes de sphères qui passeront, les unes par le cercle (Iv), les autres 

 par le cercle ^K). Elles seront déterminées, on l'a vu, par deux équations 

 de Riccati. 



En résumé, si l'on veut se borner à l'essentiel, on peut donner la construc- 

 tion suivante : 



On envisage une famille quelconque de sphères (S). Pour chaque 

 sphère, on construit le cercle (K) d'intersection avec la sphère infiniment 

 voisine et les deux points a, a' qui lui sont communs avec deux sphères 

 infiniment voisines. Ces points sont nécessairement sur le cercle (K). El 

 Ton n'a plus qu'à construire les cyclides engendrées par des cercles qui 

 coupent (K) en a, a' et font avec ce cercle un angle constant. La famille de 

 Lamé ainsi obtenue dépend de quatre fonctions arbitraires : celles, au nombre 



