SÉANCE DU l5 FÉVRIER 1909. SSc) 



de trois, qui déterminent la famille de sphères, et l'angle 9, qui peut varier 

 d'une manière quelconque quand on change la sphère (S). 



6. On peut encore éviter l'emploi de toute sphère en considérant les deux 

 courbes (A), (A') comme les deux branches d'une courbe (C) et les deux 

 courbes (B), (B') comme les deux branches d une courbe (F). Alors (C) 

 peut être caractérisée comme l'enveloppe d'un cercle variable (K) par lequel 

 elle est touchée en deux points, et (V ) est une des focales de (C ) engendrée 

 par les foyers du cercle (K) [(c'est-à-dire par les centres des sphères de 

 rayon nul passant par (K)]. On est ainsi conduit à l'énoncé suivant : 



On considère une courbe quelconque enveloppe d'un cercle variable ( K ) par 

 lequel elle est touchée en deux points a. ci . La cyclide variable ayant pour 

 points doubles a, a' et les foyers du cercle (K) engendre la famille de Lamé 

 la plus générale formée de cyclides de Dupin. 



Il y a une infinité de moyens d'obtenir dans l'espace les courbes touchées 

 en deux points par un cercle. Sur le plan et sur la sphère, il n'y a qu'à 

 prendre l'enveloppe d'un famille de cercles. Dans l'espace, on peut procéder 

 comme il suit : 



Construisons dans le plan, ou sur la sphère, une famille de cercles (K). 

 Chaque cercle (K) touche son enveloppe en deux points a, a' et la droite aa' 

 enveloppe une courbe (H). Déformons (H), sans changer sa courbure en 

 chaque point, de manière qu'elle entraîne ses tangentes et, par conséquent, les 

 points a, a'; ceux-ci vont se placer dans l'espace sur une des courbes cherchées. 



7. Revenons à l'énoncé plus complet auquel nous avons été conduits touL 

 d'abord. Il permet de rattacher très simplement l'une à l'autre les deux 

 solutions du problème que j"ai données dans mon Mémoire. On voit 

 d'abord que les deux courbes (M_) et (P) enveloppées respectivement par 

 les tangentes bb' et aa' sont précisément celles qui ont été employées dans 

 la première solution et qui sont danr- une relation telle que la tangente à 

 chacune d'elles est perpendiculaire au plan osculateur de l'autre. 



Si l'on prend maintenant deux sphères (2,), (S^) passant par le cercle 

 (K) et orthogonales entre elles, puis deux sphères (S^), (^5), également 

 orthogonales et passant par le cercle (K'), les cinq sphères 



(i,), (20. (2), (i;), (i.), 



définiront le système de coordonnées pentasphériques qui ligure dans ma 

 seconde solution. 



