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8. Toutes les méthodes précédentes, qui n'emploient aucune intégration 

 pour la détermination de la famille de cyclides, paraissent exiger au con- 

 traire, pour la détermination des familles associées, l'intégration de deux 

 équations de Riccati. 



En rédigeant mon Mémoire, j'aurais dû me rappeler un ihéorème général 

 énoncé à la page 68 de mes Leçons sur les coordonnées curvilignes et les sys- 

 tèmes triples orthogonaux. Ce théorème permet de construire, sans aucune 

 intégration, non seulement la famille des cyclides^ mais les deux familles 

 orthogonales qui lui sont associées. 



Il repose sur l'emploi de la transformation suivante, dont l'origine 

 se trouve dans une proposition de Ribaucour : Etant donnée une sur- 

 face (S) et une sphère (S), que nous appellerons sphère principale de la 

 transformation, on construit le cercle normal en un point M à (2) et ortho- 

 gonal à (S); puis on fait correspondre à M un point M,, du cercle, tel que 

 le rapport anharmonique des deux points M,,, M, et de ceux où le cercle 

 rencontre (S), soit un nombre donné. Il est clair que cette transformation 

 deviendra infinitésimale si le l'apport anharmonique est très voisin de 

 l'unité. 



9. D'après cela, prenons une surface quelconque (2) et une suite définie 

 de sphères infiniment voisines (S,), (So), ..., à chacune desquelles nous 

 associerons un rapport anharmonique infiniment voisin de i. Soit !-+-£,, 

 I + £2, ... la suite de ces rapports anharmoniques. Soumettons (2) à la 

 transformation de Ribaucour définie par la sphère (S, ) et le rapport (i -l- t^ ), 

 puis la surface résultante à la transformation définie par (S^) et le rap- 

 port I -f- £,, et ainsi de suite. Nous avons établi qu'on obtient ainsi une 

 famille de Lamé, dont peut faire partie toute surface (X), et qui dépend de 

 quatre fonctions arbitraires d'w«e variable. Nous avons montré de plus qu'on 

 peut obtenir, sans aucune intégration, non seulement la famille de Lamé 

 ainsi définie, mais encore les trajectoires orthogonales des surfaces cjui la 

 composent. 



Comme c'est le propre de la tranformation de Ribaucour de transformer 

 une cyclide de Dupin en une autre cyclidc de Dupin, on voit que le théo- 

 rème précédent nous permettra de faire dériver de toute cyclide une famille 

 dépendante de quatre fonctions arbitraires, composée de cyclides dont on 

 obtiendra sans intégration les trajectoires orthogonales. Il suffira ensuite 

 d'associer toutes celles de ces trajectoires orthogonales qui rencontrent un 

 même cercle de la surface primitive, pour obtenir les deux familles d'en- 



