4b2 ACADEMIE DES SCIENCES. 



remeiit. Les a:' ' mouvements de i,„ qui correspondenl aux divers choix 

 possibles de S," se déduisent de l'un d'eux au moyen des oo' ^ transformations 

 du groupe projectif. 



L'étude des mouvements à 2, . . ., i!\ paramètres n'offre aucune difficullA. 

 Les applications de la méthode que nous venons d'exposer sont fort nom- 

 breuses. Nous n'indiquerons ici que la suivante. 



Soit (Q) une quadrique dépeiulaiU d'un paramètre et admettant pour caractéristique 

 les côtés d'un quadrilatère OiOjOjOi. Si l'on prend comme figure de référence le 

 télraèdie OiOjOjOj, et un point quelconque O^, l'équation de la quadrique sera de la 

 forme 



jrz — /ift =: G, 



et, en exprimant que sa caractéristique se compose des côtés du quadrilatère OiOoOjO,, 

 on trouvera 



(3) (7,3=:: «31 = rt,j= 0;,= O, «32= /mu, r/,2— /(«.j, «3., =:/i«2I, '"']l='/'«î.l- 



Le plan osculateur à la trajectoire (Oj) du point O, a pour équation 



rtjlj' + /IZ- — (721 < =^ O, 



n satisfaisant à l'équation 



(0) «22 «21 "11 «U«21«ll + 2/i/ia4,(72,=I a-2i — j «Il -j 



Les coordonnées du pôle P de ce plan par rapport à la quadrique (Q) sont 

 {nh, «21, o, — «u)- 



On démontre aisément, et il est d'ailleurs connu, que les surfaces réglées engendrées 

 par les droites O, O2 et O, Oj admettent respectivement les droites 0,04 et O1O2 comme 

 tangentes asymplotiques. Il suit de là que la tangente à la courbe (Oi) a même conjuguée 

 par rapport à ces deux surfaces. Cette conjuguée touche son enveloppe en un point Â 

 dont les coordonnées sont (5, «21, o, — «ti), 9 étant défini par l'équation 



. , . , '^'^ii da,, 



(li) «22«21«J1— "U«2 1«41+ '2 y «il «21 = «21-^7;; '''■.I -;j^' 



La comparaison des relations (3) et (l^) donne 9:=^nh. Par suite les points P et A 

 coïncident et l'on peut dès lors énoncer le théorème suivant, généralisation d'une pro- 

 position que M. Tzitzéica a fait connaître dans sa Note du 20 juillet 1908 : 



Si une i]undri(jue dépendant d'un paramètre a pour caractéristique les côtés d'un 

 quadrilatère O1O2O3O4, la tangente à la trajectoire (O,) du sommet O, a même 

 caractéristique par rapport aux surfaces réglées engendrées par les cotés du qua- 

 drilatère O1O2O3O., qui passent par Of. Celte conjuguée touche so/i enveloppe en 

 un point dont le plan polaire par rapport à la quadrique est le plan osculateur de 

 la courbe (O,). 



