466 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



système normal d'équations linéaires 



(2) (/y,/) — o (./ = i, 2, .... m). 



Supposons qu'on ait à s'assurer, n'importe de quelle manière, que les 

 fonctions 



/i, ./■., ••■,/«,; «!>„,+, (/i, ...../•„,, /..„+i, ...,./p) «i',„^.2(...) «!>,(•••) 



forment un système de g fonctions normales. 



Les fonctions/, ,/2, ...,/„, et (i) représentent alors un système complet 

 de •211 — fj intégrales distinctes de q équations normales 



'./■,/'/) = 0' («I)„,+,,/) = o (y — 1,2, ...,m; .ç=i,2, ....q — m). 



Il est aisé de comprendre qiion peut toujours, moyennant le théorème de ma 

 Note précédente, former une suite de q fondions Ff.(e = i, 2, . . ., r/) à l'aide 

 d'une seule quadrature, bie/t que les fonctions *)^,n^-s restent inconnues. 



Les fonctions F^, étant trouvées, on s'assure immédiatement, en tenani 

 compte du théorème du n° 1 de ma Note précédente, que les fonctions 



//(/='' 2, ..., 2« —^), ls„+,(x = i, 2, .. ., y — /«) 



représentent 'in — m intégrales distinctes des équations (2). 



2. Cela posé, il suffit de rappeler quelques propositions connues, dont la 

 démonstration est tout à fait élémentaire, pour en déduire la solution du 

 problème de Jacobi-Lie. 



Supposons qu'on connaisse un système complet de p, intégrales dis- 

 tinctes 



\^ ) /l! ,/2) •••! Jim ,/m + lt •••! /p, 



des équations (2); il peut arriver que cette série de fonctions contient, outre 

 les fonctions y,, . . ., f„„ encore d'autres fonctions normales (distinguées), 

 ce que nous pouvons toujours reconnaître par un calcul élémentaire qui 

 détermine le nombre q, — ni de ces fonctions. Le nombre y, -f- .y, sera alors 

 un nombre pair (GouRSAT,/,efo/ii «//• /'m/e^'va^?bn, etc., t. 1). 



Désignons ces fonctions normales par <t,„^_|, ..., $,,. Les fonctions (3) 

 représentent, évidemment, p, intégrales distinctes du système normal 

 d'équations 



(4) (A,/) = o, ..., (/„„/) ==0, (<6„,+i,/") = o, ..., (<ï»,„/)=.o 



