SÉANCE DU 22 FÉVRIER 1909. 4t)<) 



est une suile de Sturm, sous réserve de changer les signes de quelques-uns 

 de ses termes. 

 Troisième cas : 



F (a. ,3. y, a-), F'( =., ,3. y. .r). F(^ - k ^, y. .r), 



F{a-2.3,y../-) F(:z - /, 3, y, a^), 



F(a — «. (3. y-M,.r), ¥ (o'. — i. p. y -h ■>.. x) F(a — /, ,3, y + A, *') 



( o < ix — ( < I . y H- /' — I < 3 < y + /( ) 



est une suite de Sturm, sous la même réserve que précédemment. 

 Quatrième cas : 



/ F(a, |3,y.'), F'(a,p,y,.r). F"(«,p,y,.r) F-"' ( ^, ,3, y, ^). 



lF(a-l-« — I, 3 -)- «, y -h M. ,r). F(c. + n — 2. 3 -h «. y + /t, J■)^ •••: 

 (S) { / ' ^ 1 / ' 



j F (a H- /i — />, 8 H- /i. ■; -I- /(. a-) 



\ (« + /«>!, 3 H- « > o. y -h « > o, o < :< + /? — /' < 1 ) 



est une suite de Sturm si a -îc;;^ y, et si p > y on prolongera la suite précédente 

 par celle-ci : 



F(a -h « — yy, |3 -t- /i, y -I- « -H I, .«■). F'(3: -+- /; — /j, 3 + /(, y -i- /( 4- 2, ^). ..., 

 F( a + « — /*. 3 + /(. y -t- « H- 17, a?), 



V ^- '7 — '<,5 <■/ + '/; 



si 



o < y. -}-/>■< I, 3 > y, 



on prolongerait (S) par 



F(3t -I- «, |3 + «. y -1- « -h i,.r), F(a + «, (3 H- «, y + /i -h 2, j'), ..., 

 F ( a + «, ^3 -t- /( , y H- /i -t- /i-, .r- ) ; 



(S) n'est une suite de Sturm complète que si 



a -i- " < 1 , P <'/■ 



La séparation des racines une fois eflecluée, on peut resserrer arbitraire- 

 ment les intervalles a, j3 jusqu'à ce que ceux-ci ne contiennent plus qu'une 

 racine chacun de l'équation y = o et ne contiennent pas de racines des 

 équations r'= o, j"=: o; cela est facile puisque, d'ordinaire, les suites de 

 Sturm renferment y', y"; on peut alors appliquer au calcul de la racine 

 comprise entre a, p les méthodes ordinaires d'approximation. 



Pour beaucoup d'autres équations usuelles, ^(0;) = o, où v(r) vérifie une 

 équation différentielle du second ordre linéaire et homogène 



