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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la fonction monogène d'une variable 

 hypercornpiexe dans un groupe commutatif. Note de M. Lkon 

 AuTOXNE, présentée par M. Jordan. 



Si, dans un groupe (s;), aux n symboles 



£«(«. p. y, p. ... = o, I, . ... n — i), 



on prend deux quantités hypercomplexes 



\i 

 variables avec les variables ordinaires x^ et v^,, et si l'on fait 



7a= Va(.r„, . . .,X„_,), 



on peut dire que y^f{(x)) est une fonction de la variable hypercorn- 

 piexe .r. Quand le groupe n'est pas commutatif, la monogénéité, pour la 

 fonction r, se trouve remplacée par un ensemble de propriétés tjue j'ai déjà 

 étudiées (Comptes rendus du 28 mai if)oG; Journal de Mat/ie'matic/ues, 1907 : 

 Sur les propriétés qui, pour les fonctions d'une variable hypercornpiexe, corres- 

 pondent à la monogénéité). Dans un groupe commutatif, la définition ordi- 

 naire de la monogénéité subsiste : 



rfj = ^ Sa dy^ -z y' clr, 

 a 

 OÙ 



y' étant un nombre pris dans le groupe. J'ai construit l'expression générale 

 de la fonction monogène y = f{{x)). 



D'abord, utilisant plusieurs théorèmes de M. Cartan {Annales de la 

 Faculté des Sciences de Toulouse, 1898 : Sur les groupes bilinéaires et les 

 systèmes de nombres complexes), je ramène le problème au cas où les 

 n = m -\- i symboles suivent les règles suivantes de la multiplication : 



P 



flpPY = G pour p < |3 et p < Y- 



