6o8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Nous avons en vue la détermination de ce premier groupe et nous appli- 

 querons nos résultats à la recherche dos systèmes admettant une ou deux 

 familles de lignes d'intersection planes. Dans le cas de trois variables, le 

 système s'obtient en prenant trois systèmes de solutions U, U,LJ^U^., 

 V,Vy V^., W,WyW;f Nous obtenous d'abord les trois seules équations sui- 

 vantes, auxquelles satisfont U,- et par suite V,, W,, que nous appellerons 

 désormais U, V, W : 



f^ n fi . o . 

 L y/, 7. yjj -ô L'/, _ o, 



(I) { U,v, - u, 4- L?,,.- ;3,v,.?..,U, = o. 



Nous introduisons les rapports =y = A, -p- = u. et sommes amenés d'autre 

 part à poser 



(II) U = e^ ?,y=eP+% [3,v,.= e'+% fr^ = «, f^ = P- 



On en déduit sans ambiguïté ^^j, ^^^ et les nouvelles fonctions v, A, a, a, 

 j5l, p, 0- satisfont à neuf équations qui donnent d'abord 



(III) ( P''=(^"''^-^')' ffy=(>'y7^/.), v/,- = -(/./.^,) r ij^^^.^^jij^ 

 I p,=r(/.,,a;), a, = (/„u/,), •jj = -(ljy..) \}-Ji^'^> lj^k-lk[>-j 



Les fonctions A, u. devraient donc satisfaire à quatre équations : elles se 

 réduisent à deux : 



(4) (>.,,-f/y),= (/.,7/y)/,. (ljij.i,)i={liii.i,)j. 



p, a, i' seront alors déterminées par de simples quadratures à une fonction 

 de Pj, p^ ou p; près. Quant à a, [3, ils seront déterminés sans ambiguïté. La 

 recherche des systèmes conjugués les plus généraux est donc ainsi ramenée 

 à l'intégration des équations (4), équations aux dérivées partielles du troi- 

 sième ordre ne renfermant que les dérivées A,'^- ou X,y'yt où les indices sont 

 distincts. 



Systèmes admettant une famille de lignes d'intersection planes. — Si les 

 courbes p,- sont planes (:; = ax + hy -f- r; a, b, c désignant trois fonctions 

 de pjp^, seulement), on obtiendra aisément la relation (x = a + èX. 



Si l'on élimine u. entre cette relation et les équations (4), on obtient 



