SÉANCE DU 8 MARS 1909. 609 



deux équations qu'on peut intégrer une fois; on forme ensuite une combi- 

 naison ne renfermant que la fonction X seule, et Ton en déduit (juc, si X n'est 

 pas indépendant de p,-, les deux équations auxquelles elle doit satisfaire se 

 réduisent à une seule qui peut s'écrire 



D / Ijbj \_ D [ }.,b, 



^ ' Dp,\aj+bjlJ Dpj\a,+ b,lJ' 



Les coefficients directeurs «, b du plan peuvent donc être des fonctions 

 de pyp^ choisies arbitrairement. Les systèmes conjugués à une famille de 

 lignes d'intersection planes, déterminés par l'équation aux dérivées par- 

 tielles du second ordre (5), dépendent donc de quatre fonctions arbitraires 

 de deux variables et de six fonctions d'une variable. 



Nous avons pu ramener l'intégration de l'équation (5) à celle de l'équa- 

 tion de Laplace très simple 



(6) (A?,)/,, = (B9,), (a = ^, B = g), 



en posant 



/■, Oj ''■!. 9/. . 



A -)- A ~ 9 ' li H- ?. ~ 9 ' 



ç et X étant déterminées, toutes les quadratures nécessaires pour obtenir 0, 

 «7, (' peuvent alors se faire. 



Systèmes admettant deux familles de lignes d intersection planes. — En 

 tenant compte des résultats précédents on trouve tout d'abord que la fonc- 

 tion C3 doit être de la forme 



o^z ti -h bO -{- 0'|i, 



u, 0, désignant des fonctions de s^Pa, t^ une fonction de 0,0^. 



En exprimant que cette fonction satisfait à l'équation (6) on obtient une 

 équation fonctionnelle dont nous avons pu déterminer toutes les solutions 

 possibles. Elles se partagent en des cas divers formant deux grandes classes 

 suivant que 15, est ou non nul. Nous ne citerons que le cas suivant : a el b 

 peuvent être choisies arbitrairement. La solution o doit être de la forme 



9 = « -t- (■ 1 ^ -t- 4 'H pj ?k ) , 



^j^ satisfaisant à l'équation (6). 



Dans ce cas, les trois familles de lignes d'intersection sont planes. 



