6lO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Généralisation du théorènu' de Poisson. Note 

 de M. Tu. De Donder, présentée par M. H. Poincaré. 



Considérons le système canonique généralisé 



(l) zzrdl (i, /.■ = 1, ..., 2111), 



où v^/ est le mineur de N^,^^ -j— ^ r— ^ dans le déterminant symétrique 



gauche v formé au moyen des N;;,-. Ce délerminant v sera supposé différent 

 de zéro. Les N/; et // sont des fonctions de 2m variables x,, . . ., ic,,„. 

 Ce système (i) jouit de propriétés remarquables. 



I. \\ aàmciV invariant intégral relatif 



1 



On aura, en vertu de (i), 



> in 1 m 



dt .-^ \ -i^ .-^ V dx/, / 



L'expression N < N, ?>Xi est une forme de Pfaff de la deuxième classe. 



1 



IL La racine carrée de v est un multiplicateur de Jacohi de ( i ). 



IIL La connaissance d'un invariant intégral relatif de la deuxième classe 

 appartenant à un système de im équations permettra d'écrire celui-ci sous la 

 forme canonique généralisée. 



IV. La fonction caractéristique H est un invariant du système (1). 



V. Un changement quelconque des variables â?,, .. ., x.,„^ conserve la forme 

 canonique généralisée des équations (i). Si a',, . . . , .r'j^, sont les nouvelles 

 variables, on aura 



dx'i 





-j — dt (/, k — \, . . ., lin), 



