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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certains syslèmes d' équalions différentielles{^ ). 

 Note de M. E. Goursat, présentée par M. Emile Picard. 



l^ans un Mémoire publié en i8()8, M. John Eiesland (American Journal 

 of Mat hématies, t. XX) et, plus récenimenl, M. Ernesto Laura {Atti délia 

 R. Accademia délie Scienze di Torinn, \i)ci" et 1908 ) ont étudié les systèmes 

 d'équations différentielles linéaires qui sont identiques à leur adjoint 



(1) -^ = a/1 Vi-h (7,2,r.2H-. . .+ a,„7„=o, rt,7,+ a/„=o. 



Ils ont démontré en particulier que, dans le cas où /î = 4) Tinlé^ration 

 d'un pareil système se ramène à Fintégration de deux équations de Hiccati. 

 Ce théorème n'était pas nouveau. J'en ai donné la ilémonstration, il y a 

 déjà longtemps, dans une Note Sur les systèmes d'équations linéaires qUi sont 

 identiques à leur adjoint, présentée à l'Académie le iG janvier 1888 {Comptes 

 rendus, t. CVI, p. 187). Il est vrai que ma méthode semblait exiger aussi 

 une quadrature, mais ce n'est qu'en apparence. Une fois les deux équations 

 de Iliccati intégrées, la quadrature s'efl'ectue d'elle-même. Je reviendrai 

 en quekjues mots sur ce point de détail, que j'avais laissé de côté dans ma 

 Note, ayant alors l'intention de développer les calculs dans un travail plus 

 étendu. La méthode employée consiste à déterminer les systèmes d'inté- 

 grales y, , Vj, Vj, y.,, vérifiant la relation 



(2) y\+yl + yl+Yl = o. 



On satisfait à cette équation en posant 



r,= p(-^ — t), j-2=p(n-ç-/î), y\—i^{\—l-n). y^=iç){f]-\-l), 



0, V], H étant trois nouvelles inconnues. En substituant dans les équations 

 du système (i), on obtient, pour déterminer p, H, Y], les trois équations 

 suivantes (') '• 



(3) 2 ^ = (ffi;H- "«) (i + rr) + /(rt,34-«2i)(' — •^r) + 2/{«3-2+«u)-') 



(') \oii-, sur ce sujel, deux (Jommunicalions récentes dans les Comptes rendus, 

 l'une de M. iJarboux (4 janvier 1909) et l'autre de M. Vessiol (8 février). 



(-) A part la dilTérenee des notations, le syslènie obtenu par M. Eiesland est iden- 

 tique à celui-là. 



