6l4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



de paramètres d'iiiLégration définis par les développements de Briol et Bou- 

 (juet. A chaque couple de paramètres correspond, d'autre part, une substi- 

 tution simple qui permet de déduire d'une branche d'intégrale un enseml^le 

 partiel d'autres branches de la même intégrale. Dès lors, pour obtenir 

 toutes les branches d'une intégrale quelconque, il suffirait de savoir déter- 

 miner les substitutions d'un paramètre C qui correspondent aux substitu- 

 tions simples des autres paramètres. Or j'ai indiqué comment, au voisinage 

 de certaines valeurs, on saura toujours définir les paramètres en fonction les 

 uns des autres. J'ai pu ainsi entreprendre l'étude générale des substitutions 

 relatives au paramètre C, étude qui m'a conduit aux conclusions que je vais 

 résumer. 



J'ai cherché à ramener toutes les substitutions opérées sur C à des combi- 

 naisons d'un nomlire limité de substitutions fondamentales (il se trouve (jue 

 ces substitutions fondamentales sont nécessairement au nombre de .trois, 

 nombre des points transcendants situés à distance finie). Mais le choix des 

 substitutions fondamentales reste évidemment aibitraire et dépend, en par- 

 ticulier, du paramètre C adopté et des valeurs de a, [3, y. Pour me borner 

 à un seul cas, je considérerai une équation (i) voisine de celle que j'ai 

 définie dans une précédente Note (') [équation vérifiée par le polynôme 

 (a; — p) (,r — y)], et je prendrai, d'autre part, comme paramètre C le para- 

 mètre C'|, relatif au point transcendant directement critique a; = p. 



Pour opérer une substitution sur C,, il faut, nous le savons, faire décrire 

 k X, àc X (voisin de [i) en .r, un circuit fermé entourant certains points cri- 

 tiques. Considérons, en premier lieu, un lacet déci'it autour du point ^ : ce 

 lacet opère la substitution 



(Si) (C',,/jiC'i) (ij. const.). 



En second lieu, appelons P, la caractéristique (définie au point x voisin 

 de p par une certaine valeur g^ de C',) qui est nulle et holomorphe au point 

 a; = Y, et considérons un lacet (a?, .r) enveloppant un petit cercle de 

 centre x = y. Ce lacet n'altère pas if,, mais il opère sur les valeurs de C, 

 voisines de g, une certaine substitution 



(so [c;,?,(C',)], 



,1a fonction ç, étant holomorphe au voisinage de C\ ^ g,- Semblablement, 

 (') Comptes rendus, i"' février 1909. 



