SÉANCE DU 8 MARS I909. 6l5 



nous obtiendrons une Iroisièmc subslilution 



(S3) [C'i, 92{C',)] (o, liolomorjilie au voibinage de C, = j»2) 



qui est définie par rapport au point transcendant a; = a comme (S^) est 

 définie par rapport à a- = y. 



Cela posé, je constate que loiiles les valeurs de C'^ qui appartiennent à une 

 même intégrale z (a^) sont des produits des trois substitutions (') (S, ) (Sj), 

 (S;,). Mais comment calculer, pour toutes valeurs de G,, les fondions ç>, 

 et (p, ? Là réside la difficulté principale. 



Je n'avais primitivement pour dessein que de déterminer des cas où 9,, 'po 

 pussent être ramenées simplement à des fonctions uniformes. Mais il n'est 

 pas plus difficile au point de vue théorique, et il est plus avantageux 

 d'élucider tout de suite le cas général. 



Soit proposé de déterminer, pour toutes valeurs de C,, l'effet de la substi- 

 tution ( So^, les substitutions (S,), (S^) étant exclues. Je constate qu'il faut, 

 pour cela, regarder (S^) comme définie, non point par la fonction analy- 

 tique 'p, (C,) tout entière, mais par une branche de cette fonction {uniforme 

 ainsi que son inverse), laquelle est obtenue en empêchant Ç, de franchir 

 certaines coupures. Les coupures sont menées par les valeurs C, — g^, g.,., îc, 

 valeurs pour lesquelles le circuit qui définit la substitution (So) se trouve 

 traverser un point transcendanty, a, fl de l'équation différentielle (-). Si C, 

 venait à franchir l'une de ces coupures, la substitution (S^) se changerait, 

 suivant les cas, en (S, X So), (S3 x Sj) ou S'^ substitutions que nous ne 

 devons pas regarder comme simples. 



Les mêmes remarques s'appliquent à la fonction Oo(C',) et à la substi- 

 tution (S:,). En conséquence, nous sommes sûrs d'obtenir toutes les valeurs 

 cherchées de C, en combinant de toutes les manières les substitutions (S, ), 

 (S.), (St) rendues uniformes, comme il vient d'être dit, au moyen d'un 

 nombre fini de coupures C*). Ce mode de reconstruction des intégrales multi- 

 formes est le plus simple, parce qu'il ne nous donne en général qu'une seule 

 fois chacune des branches cherchées. D'autre part, il sera toujours possible 



(') Ces subslituliuns ixjuiraieiil d'ailleurs être remplacées par d'auli-es [produils 

 de (S,), (Ss) el de (S,), (S,,), par e\euiple, lesquels sout opérés par des lacets décrits 

 autour âe j: =z 00]. 



(-) On peut démontrer a priori que le circuit ne traverse jamais œ = oc. 



(') Si Ton supprime les coupures de 9,(C',) el 0,(0',), chacune des substitutions 

 (S.,), (S.i) définit un groupe renfermant toutes les autres suhstiliUion*. 



