G-4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



2. Les métliodes reposent toujours sur la considération des génératrices 

 rectilignes des surfaces du second degré dans un espace à un nombre quel- 

 conque de dimensions. On sait, et il a été établi par MM. Corrado Segre 

 dans le Tome XXXVI des Mémoires de Turin (^i" série), par M. lunule Borel 

 dans les Annales de l'École Normale (1892), qu'on peut étendre à un espace 

 à un nombre quelconque de dimensions la théorie des génératrices recti- 

 lignes des quadriques. 



Si l'on considère, par exemple, l'équation quadraticjue homogène 



9(0;,. ^, x.2„)=;o, 



contenant un nombre pair de variables, on peut toujours la ramener à la 

 forme 



(3) y)i^, 4-. . .+/^„x,= o, 



OÙ les Pi, X,, désignent in fonctions linéairement indépendantes, et l'on 

 obtient alors deux systèmes de génératrices rectilignes, l'un délini par des 

 équations 



Cl) Pi = ^aa. ■>■,,. 



OÙ l'on a 



(5) «,/, -t-a/,-,= o; 



Fautre, qui dériverait des équations (4) par l'échange d'une des quantités 

 Pi avec la quantité correspondante a;,-. Si, dans l'un ou l'autre système, on 

 échange un nombre />f«> de quantités yo, avec les quantités de même indice 

 Xi, on retombe sur une génératrice rectiligne de même système. 



Supposons au contraire qu'on envisage une relation quadratique homo- 

 gène, à un nombre impair de variables, 



cp(a;,, x,, . . ., J"«„_n) = 0, 

 on pourra la ramener à la. forme 



( 6 ) /), j:-i H- /;», J^2 H- . . . H- /'„ x„ + xl ,1 = 0, 



et l'on n'obtiendra cette fois qu'un seul système de génératrices rectilignes, 

 délini, par exemple, par les formules 



(7) 



'■'n + \ = 7, ««+!,<''■< 



