SÉANCE DU I ■) MARS U)Ofj. 6c)I 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur certains SYStcmcs triples orlhogonaiix. 



Noie de M. J. Haa«. 



Dans une ÎNole assez récente {Comptes rendus, i i janvier iqot)), M. Dai- 

 boux a repris le problème de la détermination des systèmes triples orthogo- 

 naux, dont une famille au moins est composée de surfaces égales. Au 

 moment de la publication de cette Note, j'étais en possession, depuis quelque 

 temps, de résultats qui me semblent assez complets, relativement au second 

 cas indiqué par M. Darboux à propos de cette question. Ce sont ces résul- 

 tats que je me propose de résumer succinctement ici. 



iVppelons système (E ) tout système triple orthogonal dont les surfaces de 

 paramètre p., sont des hèlicmdes de même axe et de même pas. Lu raisonne- 

 ment géométrique simple montre que chacune des deux autres familles doit 

 se composer de surfaces se déduisant de l'une d'elles par le mouvement 

 hélicoïdal qui fait glisser sur eux-mêmes les hélicoïdes précédents (sauf si 

 les hélicoïdes se réduisent à des surfaces de révolution, ce qui conduit au 

 troisième cas examiné par VI. Darboux). 



Prenons alors pour axe des s l'axe commun aux surfaces p;,, et supposons 

 que, par une homothétie convenable, on ait ramené leur pas commun à être 

 égal à l'unité. 



Les équations du système (E) le plus général satisfaisante ces conditions 

 peuvent alors être obtenues comme il suit. Soient et co deux fonctions ties 

 variables a et ^ vérifiant le système 



1 d t 5 + r,j ) . . 



1 oc. 



\ 0{b — 01 ) . . , 



I dp 



On peut leur faire correspondre deux systèmes (E) de la manière sui- 

 vante. Calculons la fonction X définie par la quadrature 



À =^ / cos (5 — 01 ) dy. — cos ( >< -h oi ) d';j. 



Posons 



U =1 (À + p -r Oi -1- 0, I . 



