SÉANCE DU l5 MARS 1909. (m)'^ 



Quant au deuxième système, il se déduira du premier en changeant a en 

 — p, [ï en — a et CD en — w. On remplacera ensuite a par p^ et [3 par p, — c. 



On voit que les formules précédentes résoudraient d'une façon complète 

 le problème de la détermination de tous les systèmes (E), si l'on savait in- 

 tégrer le système (i). Or ce système est très connu. C'est celui dont dépend 

 la recherche des surfaces à courbure totale constante (Darboux, Théorie des 

 surfaces. I. III, p. 378). Donc la détermination des systèmes (E) et celle des 

 surfaces à courbure totale constante constituent, à des quadratures prés, deux 

 problèmes é'fuivalents. 



D'un autre côté, si Ton se reporte à notre Note du 3 août i()o8, on voit 

 sans peine (\uq pour qu'une surface (è) puisse engendrer, par un déplacernenl. 

 hélicoïdal, une famdle d'un système (M), il faut et suffit que les tangentes aur 

 lignes de courbure d'un système appartiennent toutes au même complexe 

 linéaire. ( La démonstration géométrique de cette propriété est d'ailleurs 

 évidente.) Donc, à des quad ratines près, la recherche de ces surfaces {"6) et 

 celle des surfaces à courbure totale constante sont deux problèmes équivalents. 

 On obtient ainsi un lien assez curieux entre deux problèmes de e^éométric 

 qui semblent entièrement différents. 



.l'ai aussi di'-montré le théorème suivant : 



Appelons système (B) tout système triple orthogonal tel que les reprèscntu- 

 lions sphèriques des surfaces de la première famille se déduisent de l'une 

 d'elles par une rotation autour d'un axe fixe, et que la représentatiou sphè- 

 rique de eiimpie surface de la seconde famille soit de révolution (uitour de cet 

 axe. Il existe un système (\i) et un seul (à une homothétie près) qiu a mêni ■ 

 représentation sphérique qu'un système ( B) donné. 



J'ai cherché des exemples de systèmes (E) ou de systèmes (S), ("estain^l 

 que je me suis proposé de trouver ceux de ces systèmes qui comprennent une 

 famille de surfaces à courbure totale constante. Ils sont oljlenus par le d(''placi'- 

 ment hélicoïdal dune surface à courbure totale constante (et égale à — 1 , ii 

 une homothétie près). Si l'on emploie les notations de M. Darboux(7'^eo/7 ■ 

 des surfaces, l. III, p. 378 ), la fonction co qui permet de déterminer cell.- 

 surface doit vérifier les deux équations 



— — r r—r ^= 5 I 11 'j) COS 0) . 



()a'- ()<■- 



tnn^'o. -r — - = a. 



()n ilv (lii ()'.■ 



