SÉANCE DU T. 5 MAKS 1909. • G()5 



nous avons donné deux icluLions absoliimeuL générales se raltachaiU aii,\ 

 points singuliers d'ordre négatif (au sens de M. Hadamard) et aux pôles 

 situés sur le cercle de convergence. Dans cette Noie, nous allons généraliser 

 ces deux résultats en nous servant de la représentation, due à M. Miltag- 

 Leffler, d'une fonction analytique par une suite de polvnoines ou, plus 

 généralement, par une suite de fonctions entières. 



A cet effet, remarquons tout d'abord que, théoriquement, le théorème 

 déjà classique de M. Mittag-Lefller permet d'étudier les points singuliers 

 situés sur la frontière de l'étoile principale, car il nous donne les valeurs de 

 la fonction dans des points réguliers qui tendent vers ces points; mais, 

 jusqu'ici, aucun résultat général n'était obtenu concernant ces points singu- 

 liers. Et, de plus, les fonctions F„(.r) qui, pour r/ = ce, s'approchent 

 indéfiniment de la fonction analytique donnée, /'(a-), sont des polynômes 

 ou des fonctions entières de œ; par conséquent, chacune de ces fonctions a 

 une valeur bien déterminée dans tous les points du plan complexe. 



En un point .t„, situé à l'intérieur de l'étoile, nous avons, d'après le 

 théorème de M. Mitlag-Eefller, 



lùnF,,(.rJ=/(.r„). 



2. Soit maintenant a„ un point singulier situé sur la frontière de l'étoile 

 ou, plus particulièrement, soit .r„ l'origine d'une demi-droite exclue. Uu 

 problème général se pose : 



Quelles relatians exisleni entre la suite 



(i) IimF„(a-(,) 



et la nature de la singularité de f\ v ) au point .r,, ? 



En particulier, cheminant vers un point singulier a-,,, la valeur de la fonc- 

 tion peut tendre vers une limite finie et bien déterminée, comme dans le cas 

 d'un point critique algébrique d'ordre négatif. Est-ce que la suite (i) tend 

 vers la même limite? 



Ou bien, supposons que .r,, soit un pôle de la fonction y (a?). Est-ce qu'en 

 choisissant une représentation déterminée, la croissance de la snite (i) est 

 en rapport avec la croissance de la fonction au voisinage du point .r„ et, de 

 plus, est-ce qu'elle permet de déterminer les coefficients de la partie princi- 

 pale, c'est-à-dire caractériser complètement la singularité? 



3. Nous allons voir que la réponse est affirmative. 



