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Pour cela nous généralisons la notion du point singulier d'ordre négatif 

 (définie par M. Hadamard pour le cei'cle de convergence), de sorte qu'elle 

 s'applique aux points de l'étoile, origines des demi-droites exclues. Notre 

 définition embrasse, par exemple, les points critiques algébriques et les 

 points critiques à la fois algébriques et logarithmiques, où la fonction ne 

 devient pas infinie. 



Remarquons enfin que, d'après cette définition, en cheminant le long du 

 vecteur 0.v„ vers un tel point singulier œ„, la fonction tend vers une limite 

 bien déterminée qui peut être appelée la valeur de la fonction en ce point 

 singulier. 



Cela posé, nous pouvons énoncer les théorèmes suivants : 



La somme exponentielle de M. Borel (qui est, au fond, une représentation 

 par une suite de fonctions entières) tend en tous les points d'ordre négatif 

 du polygone de sommabilité (sommets exclus) vers la valeur de la fonction 

 en ce point singulier. 



Plus généralement ; 



En chaque point singulier d'ordre négatif de l' étoile principale , les valeurs 

 des fonctions entières 



71 = 00 



(2) E„(^) = «„+ V rt /±- 



introduites par M. Lindelôf ('), tendent vers la valeur que prend , en ce point 

 singulier, la fonction f{cc) définie par 



n = 



On peut donc écrire 



limEa(^o)= ''m/(x), 



et cette relation est, en quelque sorte, l'extension à l'étoile d'un théorème 

 d'Abel. Remarquons encore que c'est la simplicité extrême du développe- 

 ment (2) qui nous permet d'établir cette proposition. 



4. Passons maintenant aux pôles de la fonction définie par l'égalité 



n — Il 



(') E. Lindelôf, Calcul des résidus, 1900, p. \i[\. 



