SÉANCE DU l5 MARS 1909. O97 



M. Mittag-Leffler (') a donné dans Tétoile principale une représentation de 

 cette fonction qui peut être considérée comme la généralisation de la somme 

 exponentieHe de M. Borel. 

 Soit en effet 



E{a) — y a„(i" 



une fonction entière satisfaisant aux conditions exigées par le théorème, par 

 exemple la fonction 



ri z^ x/ 



log(/i + (3) 



71 = 



donnée par M. Lindeloff. 



Le théorème en question peut s'écrire 



(?>0 



'Ss„y.„a" 



/A{a:) = linl 



y C;, a" 



OU bi 



len 



/A(.r) = lîmF„(.r), 



OÙ Fu(x') est une fonction entière, a un nombre positif. 

 La fonction sommatrice E(a) une fois choisie, posons 





=A(«), 



où l'indice supérieur est le signe de dérivation. 



Cela posé, notre résultat général, relatif aux pôles, s'énonce comme il suit 

 Si iv„ est un pôle d'ordre k à l'origine d'une demi-droite exclue, 



(4) 



„=.«*//.-(«) ^'î 



Donc la suite ( i) formée en un pôle est en rapport direct avec la nature 

 de la singularité envisagée. Elle nous décèle le degré du pôle et permet de 

 déterminer successivement les coefficients B/, de la partie principale, donc 

 de caractériser complètement la singularité en question. 



(') Mittag-Leffler, Sur la lepri-sciUaLion d'une brandie uniforme d'une fonc- 

 tion monogène, 5= Noie {Acta matliematica, t. XXIX, tgo."), p. 178). 



C. R., 1909, I" Semestre. (T. CXLVUI, N» 11.) 9*^ 



