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lions suivantes : 



(33) -^ = V „,j^„|j/ — ^ flilj, «[;.,. 



qui forment un système linéaire à ' — '- inconnues définissant les multi- 

 plicités à une dimension contenues dans la multiplicité formée par l'en- 

 semble des inconnties. 



D'après leur définition même, les fonctions Uiy, satisfont nécessairement à 

 toutes les relations telles que la suivante : 



Or, l'emploi des équations (33) nous permet de démontrer les formules 



[34) -—^ =^ a,uAv.l.lm-^2a '''■V'-^'iJ-"""*"^ «/!J.A,/.|j.„, H-^ «mU-A, 



kl\f.- 



qui montrent que le système (33), envisagé en lui-même et indépendam- 

 ment de son origine, ne conduit pas nécessairement à des valeurs nulles 

 des A,a;,„. Ce résultat était facile à prévoir; mais il sera avantageux dans 

 certains cas de substituer ou d'adjoindre le système (34) aux équations (33). 

 Supposons, par exemple, n = 4- H y aura alors une seule quantité A, 

 A,. ,34, et l'on aura 



— — ( «, , -1- «2, 4- «33 -1- «u)A. 



Comme on peut toujours, en employant une quadrature, faire en sorte 

 qu'on ait 



«1,4- «22+ «3.) -H «44=0, 



on reconnaît que, pour le cas particulier où n = 4? le système linéaire à 

 six inconnues (32) admettra une intégrale quadratique et sera réductible, 

 par conséquent, à ceux qui ont été l'occasion de cette étude. C'est le 

 résultat inverse de celui qui a été établi à l'article 3. 



10. Après ce cas particulier, élevons-nous tout de suite au cas le plus 

 général, et voyons comment on pourrait déterminer les multiplicités à un 

 nombre quelconque de dimensions formées avec les solutions du système 

 proposé. Pour ne pas compliquer les notations, bornons-nous à envisager 



