SÉANCE DU 22 MARS 1909. 753 



La première n'est qu'une généralisation d'un théorème que j'avais établi 

 pour l'équation de Riccati dans le Volume dédié à la mémoire du P. Chelini 

 et que j'ai étendu ensuite dans le Tome XC des Comptes rendus aux S)'S- 

 tèmes linéaires les plus généraux. 



Sous une forme abrégée, ce théorème s'énonce comme il suit : 



Si un système linéaire homogène d'équations différentielles admet une inté~ 

 grale algébrique, nécessairement homogène, toutes les formes adjointes Çcova- 

 riants, contrevariants , formes mixtes) donnent encore des intégrales du même 

 système. 



Les formes adjointes que j'avais ainsi considérées ne contenaient que 

 deux espèces différentes de variables, par exemple des coordonnées de 

 points et des coordonnées de plans dans l'espace ordinaire. L'introduction 

 des systèmes associés permet d'étendre le théorème aux formes invariantes 

 les plus générales telles que Clebscli les a définies, c'est-à-dire à celles qui 

 contiennent les coordonnées de loutes les multiplicités linéaires qui peuvent 

 exister dans un espace donné. Dans l'espace ordinaire, ces formes pourraient 

 renfermer, ensemble ou séparément, non seulement des coordonnées de 

 points et de plans, mais aussi des coordonnées de lignes droites. 



Pour ne donner qu'un exemple, si le système fondamental admet une 

 intégrale quadratique, il en est de même de tous les systèmes associés. 



15. La seconde proposition sur laquelle j'insisterai est la suivante : 



Quand on peut intégrer le système fondamental, on peut aussi intégrer 

 complètement chacun des systèmes associés, considéré indépendamment de tous 

 les autres. 



Parmi les difiérentcs manières de la démontrer, je choisirai la suivante : 

 Si l'on soumet le système fondamental à une substitution linéaire quel- 

 conque, il est clair que tous les systèmes associés seront soumis à une sub- 

 stitution linéaire dérivée de la première. Si on les soumet à cette substilu- 

 tion dérivée, ils demeureront les systèmes associés au nouveau système fon- 

 damental. 



D'après cela, effectuons la substitution linéaire qui réduit le système fon- 

 damental à la forme 



(io) ^ = «. 



Toutes les quantités a,7( étant devenues nulles, les systèmes associés prcn- 



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