SÉANCE DU 22 MABS I909. 768 



a, Z, P, Q étant des nombres positifs, et satisfait à la condition de Lip- 

 schitz dans ce domaine, relativement aux variables s, /v, «y. Nous voulons 

 définir l'intégrale cherchée dans un rectangle R de côtés /' et ar, ayant un 

 sommet à l'origine, et situé dans l'angle £cOy, r étant un nombre positif suf- 

 fisamment petit. 



Prenons pour première valeur approchée de cette intégrale (/„^o. La 

 seconde valeur approchée s, sera l'intégrale de l'équation 



(3) • J^;rr/(^-.,r,o,0. 0) 



qui est nulle pour y =^ o et pour v = a;r. Cette fonction z, ( J-', y) se réduit 

 pour a;- = o à une fonction '-pi(j'). Pour la valeur approchée suivante, nous 

 prendrons la fonction u.,{x, y), intégrale de l'équation 



qui est égale à 'j'oC^') pour a: = o, et qui est nulle pourj' = x. Celte fonc- 

 tion se réduit pour v = o à une fonction cp2(^)- ^oit -aC^'i y) l'intégrale de 

 l'équation 



qui est nulle pour y = a.x^ et qui se réduit à '^-li^x) pour y ^ o. Il est clair 

 que ce procédé peut être poursuivi indéfiniment. On obtiendra donc, par 

 des quadratures seulement, et sans avoir à résoudre aucune équation fonc- 

 tionnelle, une suite illimitée de fonctions 



-■ I • "• 1 



it ^, ti ■■> . // -> • • • • . ^'/ti "II' 



qui sont toutes régulières dans le rectangle R, pourvu que /■ soit assez petit. 

 Pour j = o, ces fonctions se réduisent à des fonctions de x : 



dont la première est nulle, et, pour x = o, à des fonctions de y : 



'|,(J). +.(,}') '^(v) 



D'une façon générale, s„(a', y) est l'intégrale de l'équation 



(E„) -—— - =/ .r. r. "„-i 



().ri)v •' \ ■ -'■ " '" (h- ()y 



