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qui salisfait aux conditions 



^„(j:, aj;) = o, -„(>c, o) = (/„-i(x, o) = 9„(„p), 



tandis que ?/„(j-, r) est l'intégrale de l'équation 



déterminée par les conditions initiales ^ 



Les procédés de démonstration habituels de la méthode des approxima- 

 tions successives permettent de démontrer que les séries 



-"i + ("i — -i) -H (-2— «i) + . . .4- (;„— "„_i) + ("„— --„) + 



de, 0{ll^—z^) d(z2—"i) ()(z„— a„_i) d{ii„—z„) 



aJS ox Or ()j: ax 



Oz\ àjui— ^i) àj:.— l'i) à(:„— i/„-\) à{u„— :„ > _^ 



dy dy dy ' ' ' dy ày 



sont uniformément convergentes dans un rectangle R de dimensions assez 

 petites. Ces fonctions m„, z,i tendent donc vers une limite commune Z(a^,j) 

 qui satisfait à l'équation 



dx dy ^ \ " " ' " dx ' dy , 



et il est évident, d'après la façon même dont elle a été obtenue, que celte 

 fonction Z(a", y) est nulle pour y ^ a? et pour y = o-x. 

 Je terminerai par quelques remarques sur cette méthode : 

 1° Au lieu de prendre pour première valeur approchée «„= o, on pour- 

 rait prendre une fonction quelconque u^{x^y), pourvu que u^{x^ o) vérifie 

 certaines conditions. 



2° 11 est essentiel, dans cette suite d'opérations, d'associer la droite 



r = a J" ( a > I ) 



à la caractéristique y =^ o, et la droite y = x à la caractéristique o; = o. Si 

 l'on associait ces droites d'une autre façon, les approximations ne seraient 

 plus en général convergentes. 



3° On pourrait aussi traiter de la même façon le problème suivant : Déter- 

 miner une intégrale de l'équation (i), connaissant sa valeur pour x ^ y^ o, 



