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o est connu el, si nous supposons les données analytiques, nous avons à 

 étudier les racines entières de l'équation 



Or la courbe V(j:-} ne coupe l'axe des x qu'aux points o el i. Donc ç, qui 

 ne contient pas de constante, ae doit pas contenir de terme en x : c'est la 

 seule condition de possibilité, qui a un sens géométrique évident. 



2. Soit l'équation 



' d ()\ d- 



a est une constante comprise entre o et i . On donne ; sur les mêmes droites. 

 Nous avons un système fonctionnel, d'où l'équation 



N(ôx) — N(yx) + N((3'^0 — Nia' .3?) -H ^ (a.r) — N((3.r) = 9i.r ); 

 0, Y, ... sont des constantes et l'on a 



o -H (3' + a =:■/-+-«'-+- p. ô,3'a~-/a'|3. 



Nous étudions la courbe 



Y = ô^-+ 13'-^+ a-' — (y-^-f- a'-'-H- (3»-) =rS...— i^, 



en regardant S.^ el Z^ comme des fonctions symétriques, dont une intégrale 

 de Gauchy donne la valeur et la valeur d'une certaine dérivée. 

 La conclusion est qu'on a 



De plus, la diU'érence ne peut devenir infiniment petite que si a tend vers 

 zéro. 



Nous avons donc, comme précédemment, une seule condition de possi- 

 bilité. 



3. Si la constante a devient supérieure à un., la discussion est délicate et 

 j'aurai bientôt à y revenir. 



Si l'on veut enfin supposer que le second membre de l'équation du troisième 

 ordre contient z et ses dérivées des deux premiers ordres, si l'on suppose 

 aussi que les courbes données sont des courbes gauches, il faudra recourir 

 aux approximations successives ( ' ). 



(') M. Picard a, le premier, appliqué ses méthodes d'approximations au calcul fouc- 

 lionnel, dans les Acta malhematica, t. XVIII et XXIII. 



