SÉANCE DU -^2 MARS I909. 77 1 



et, pour a; ^o, 



dans la dernière Intégrale, le point singulier :; = o est évité en décrivant 

 autour de l'origine un demi-cercle infiniment petit du demi-plan siipériour 

 des z. 



Les dérivées successives de -C( — - | forment une suite descendante de 

 fonctions, solutionsparticulières de ré(|uation linéaire (a) et dont la /«'"''"'m;sI 



7; t 



avec 



v = — /) pan 

 // — 1 



(3) y.n{J^-t)- 





v!(« — 2v)! 



le polynôme /«(ir, /) étant solution de Ta) et-/„(.r, — /), solution de l'équa- 

 tion adjointe de (a). 



II. A partir de - >L' ( -^) nous pouvons, par intégration, construire une 



suite ascendante de fonctions : solutions de (a), nulles pour l = o tpiel i[ue 

 soit 07 et dont chacune est la dérivée de la suivante par rapporta r. Les fonc- 

 tions de la suite ascendante et descendante, à partir de - ,;•, seront successi- 

 vement paires et impaii'es ; il suffira de les écrire pour x > o. La ii""'" fonc- 

 tion de la suite ascendante, dont la dérivée //''""' aura une rupture i pour 

 a; = o quel que soit l, sera 



(4) (-i)«5'„(x. = 



=s/'T-""-ï'"='-'-''-'>l<7$- 



■^- * 2 \ / ' \ r.l 



m„{x,l)= 'i— -p* _,_|3'_''i,^"-3;2_j_...^ 3^;' .r"-=''-4''+'-l-...-l-,3;" ut- {n pair); 



;n-l 



ro„(.r. = '-^^^V- -H 3,"'^"-^<--t-...H-,i;' x"--"-i/"+'-l-.. .-f-,3„"_,i ■' (/ii.Mi.air). 



