SÉANCE DU 29 MARS I909. 8l3 



Nous allons développer N en une série de polynômes de Leg^endre et écrire 



(3) N=:yKj>,,, f P„NsinQf/a= ''^^" ■ 



11 est aisé de voir que K„ dépend de p et est de la forme 



• 1»» — :; ' 



p- 



A„ étant une constante indépendante de p, tandis que J„ est une fonction 

 analogue aux fonctions de Bessel et qu'on peut définir de la façon sui- 

 vante. Soit l'équation 





Il i II + 11 



Parmi les intégrales de cette équation, nous distinguerons celle qui reste 

 holomorphe pour .r ^ o et que nous appellerons J„, et celle qui pour :v 1res 

 grand est sensiblement égale à e^'-^ et que nous appellerons I„. J'achèverai 

 de définir ces deux intégrales par la"relation 



(5) 1„J„-J„I,= ,. 



]„ étant la dérivée de 1„ par rapport à x. L'étude de léquation de Frcdholm 

 donne alors facilement, A étant un coefficient constant, 



(6) azrrAy ,, '^" 1"" -• 



Xjl„{f,)p) J„l Gip) 



Pour pousser plus loin le calcul, il faut s'appuyer sur ce fait essentiel que 

 (1) est très grand, ce qui permet de remplacer les intégrales par leur valeur 

 approchée de la façon suivante. L'intégrale •' 



où et p sont deux fonctions de x, a pour valeur approchée 



où l'on a donné à œ la valeur qui correspond au maximum ou au miniinuin 

 de G et où 0" est la dérivée seconde de 0. Grâce à cette formule, on trouve 

 pour la valeur approchée du polynôme de Legendre P„(cosc>), où n est 



C. R., 1909, I" Semestre. (T. CXLVIII, N« 13.) Io5 



