SÉANCE DU 29 MARS 1909. 823 



France, t. XI, i883), a le premier orienl('' le problème de runiformisation 

 dans la voie des fondions analytiques quelconques. Ce travail a détermine 

 l'évolution la plus récente sur le problème de l'uniformisation, grâce à 

 laquelle l'idée exposée la première fois dans le travail cité a reçu son plein 

 développement et a ouvert des perspectives nouvelles. 



Soit / une variable uniformisante quelconque adjointe à la fonction 

 donnée j (a;) ou à la surface de Riemann de la fonction j (a;). Il existe alors 

 une surface de Riemann $ de la fonction ^ (a?, y) [c'est-à-dire de la variable /, 

 considérée comme fonction sur la surface de Riemann F ou du point 

 variable (ic, y) de la courbe analytique (ic, y), qui est définie par la fonc- 

 tion j(x)]. Nous considérons cette surface $ comme une surface construite 

 relativement à la surface F. Par la fonction /(a;, j) la surface $ est trans- 

 formée univoquement et conformément à une certaine aire plane F, qui est 

 une surface à un feuillet et d'une connexion en général infinie. 



Donc le problème de l'uniformisation de la courbe donnée y {x') se 

 décompose en deux problèmes difïérents l'un de l'autre. Le premier est un 

 problème de V Analysis silus; le deuxième est un problème de la transformation 

 conforme. 



Le problème de \ Analysis situs demande la construction d'une surface de 

 Riemann relativement à la surface F, surface de Riemann de la fonction 

 donnée y (a?), de sorte que cette surface $ au sens de V Analysis silus soit 

 équivalente à une surface de Riemann à un feuillet. Ce problème permet, 

 comme on vojt aisément, une infinité de solutions particulières, qui diffèrent 

 par le degré de vigueur uniformisante de la variable / provenant de la sur- 

 face $; on peut remarquer en effet qu'une telle variable / n'uniformise pas 

 seulement la fonction j' (a-), mais aussi une foule d'autres fonctions z (a;, y) 

 de la variable x existant sur la surface F. 



Le deuxième problème demande la démonstration du théorème suivant : 



Un principe génér\.l de transformation conforme. — Etant donnée 

 une surface de Riemann (ou une surface quelconque de l'espace), qui au sens 

 de V Analysis situs est équivalente à une surface de Riemann à un feuillet seul 

 d'une connexion finie ou infinie, il existe alors une transformation conforme 

 et univoqne de la surface donnée à une surface de Riemann à un feuillet. 



En s'appuyant sur ce théorème et la remarque faite à propos du problème 

 de V. Analysis situs, on oittient le théorème suivant : 



Un principe général d'uniformisation. — Toute uniformisation d'une 



