SÉANCE DU 29 MARS 1909. 827 



général de convergence sur les fondions analytiques, théorème analogue à 

 un théorème sur les fonctions continues dû à M. Hilhert et appliqué par lui 

 avec tant de succès dans son Mémoire bien connu, Ucber das Diric/ilelsclie 

 Prinzip et dans sa quatrième Note sur la théorie des équations intégrales. 

 Ce théorème auxiliaire s'énonce ainsi : 



Si l'on a défini dans une aire quelconque (par exemple, surface de Riemann 

 à une injinilè de feuillets) une infinité de fonctions analytiques, dont chacune 

 en particulier est uniforme dans l'aire et reste en valeur absolue au-dessous 

 d'une quantité fixe finie p., indépendante de la fonction choisie, on peut 

 former une série dénomhrable de fondions uniformément convergente en ne 

 prenant que des fondions de l ensemble donné (' ). 



En.m'appuvant sur ce théorème et quelques autres théorèmes nouveaux 

 sur la transformation conforme, je démontre qu'il est possible de consi- 

 dérer la surface <I> donnée dans le principe énoncé plus haut comme une 

 Hmite $ = lim(I»„, de sorte que toute surface $„ est représentable sur une 



aire à un feuillet et que la série des fonctions qui donnent ces transforma- 

 tions conformes devienne uniformément conver"ente. 



Telle est ma première méthode de démonstration du principe général 

 énoncé. Je me borne à donner ici un court aperçu de cette méthode en 

 laissant de cùlé la deuxième, qui donne une application de l'intéressante 

 méthode de giïrtelfôrmige Verschmelzung due à M. Schwarz. 



Un cas spécial de la plus grande importance se présente si l'on suppose 

 que Taire T de la variable t soit d'une connexion simple ou, quoique elle- 

 même d'une connexion infinie, formée par deux demi-parties symétriques 

 entre elles qui sont d'une connexion simple. 



Ce sont ces deux cas, dans lesquels nous sommes conduits à des fonctions 

 uniformisantes avec des substitutions toutes linéaires et réelles et à un 

 groupe qui est destiné à jouer un rôle fondamental pour la fonction yi^x). 

 Dans ces cas il s'agit essentiellement du théorème important suivant, dé- 

 montré en même temps (1907) par M. Poincaré (-) et par l'auteur ('). 



Un théorème génékal sun l\ transformation conforme de surface 



(■) C/. IX. 



(2) Acta matlt., l. \X\1. 



(') Cf. le travail cité IV. Cf. V, § 1, et V, § 2, où je démontre un lliéorème supplé- 

 mentaire. 



