SÉANCE DU ") AVRIL 1909. Ç)o'^ 



ment double de la transformation. Après un changement de variables, on 

 peut supposer nulles les coordonnées de l'élément double et prendre la 

 transformation sous la forme 



/ Xi=a\ar,-\-a'',.r, + . . .-h fi'„j;,-^ X^z -+- z'i/>,-H y.',p, + ■ . .-H «;,/>„-(- 



( P,- -- b\ j-, + //, ,r, H- ... -1- h'„ .r„ + B,- ; + ;3', />, + 3', /-, + ...+ |3>„ + ... . 



Nous supposons que les seconds membres sont des fonctions liolomorphes 

 des 2« + I variables dans le domaine de Forigine, les termes non écrits 

 étant de degré supérieur au [iremier, et l'on démontre aisément que les 

 termes du premier degré de / se réduisent au seul terme en z. 



Les formules précédentes qui définissent une transformation de contact T 

 de l'espace à n dimensions peuvent aussi bien être regardées comme défi- 

 nissant une simple transformation ponctuelle c de l'espace à 2« -t- 1 dimen- 

 sions. Supposons traité le [iroblème de la détermination des variétés à i, 2, 

 3, ..., «paramètres invariantes ])ar G el conlenant l'origine. Le problème 

 suivant se pose alors : 



Parmi les variétés à ndinunsions (r_: n) iiuaricuilcs par C, y c/i a-t-il qui 

 fournissent des multiplicités invariantes par T? Autrement dit, l'équation de 

 Pfaff 



(2 ) dz — /J, f/./', - p.^ da\ — ... — Pu d-r,, =; o 



est-elle nécessairement vérifiée par certaines de. ces variétés ? 



Le but de cette Note est de montrer que la réponse est affirmative pour 

 certaines de ces variétés et de distinguer celles-là des autres. 



2. Énonçons d'abord quelques propriétés des transformations T. Quand 

 on réduit les équations (i) aux termes du premier degré, on obtient une 

 substitution linéaire T' que j'appellerai la substitution linéaire tangente à T. 



Les coefficicntsa' ,/y ,7.^,, [i'^, de T' ne sont pas indépendants, et l'on obtient 

 aisément les relations qu'ils doivent vérifier lorsque la transformation T est 

 une transformation de contact. Les substitutions linéaires T' forment un 

 groupe dont l'existence a été signalée par M. Goursat ( '), qui fait observer 

 qu'un groupe tout pareil, mais à coefficients entiers, n'est autre que le 

 groupe considéré par llermitc, pour n = 2, dans son Mémoire sur la trans- 

 formation des fonctions abélienues (-^. 



(') Goursat, Sur ttii i;r(iupc de tranafarmalinns (lliill. Soc. niatliciit , l, \\\, 

 1901 ). 



(-) lli:iniiTE. Comptes rendue. iS^i.'i, ci (Itùnres eomplrles {X.. I, p. f\f\^\). 



