r)o'| ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Pour le problème qui nous occupe, il est essenliei d'étudier l'équation 

 en S relative à T. Pour les transformations T du plan (/^ = i ) j'ai signalé 

 dans un travail antérieur ce fait qu'une des trois racines de l'équation en S 

 est égale au produit des deux autres ('). Cette propriété peut être étendue 

 au cas général : 



Lorsque la transformation (i) est une transformation df. contact, l'une des 

 racines de l'équation en S est le coefficient D des formules {^ i ), et, si S est une 



D . . 



autre racine quelconque, -^ est aussi racine. 



Soient alors 



S S c J5 O D 



les racines autres que D. Deux racines seront dites associées si leur produit 

 est D. Nous supposerons, pour nous placer dans le cas général, que les 

 racines S,, S^, . . ., S„ sont distinctes, difTérenles de o et de i, et qu'aucune 

 d'elles n'est le produit de puissances entières d'autres racines. 



3. Soit une variété an.,, à /dimensions {r'^n ) invariante par c, contenant 

 l'origine et telle que 2/i -+- i — r des coordonnées s'expriment par des fonc- 

 tions holomorphes des r autres coordonnées (pour « = i, on obtient les 

 trois courbes analytiques invariantes par une transformation ponctuelle à 

 trois variables). Pour une pareille variété, les in -h i coordonnées sont des 

 fonctions de r paramètres u,,U2, ..., //,. bolomorplics dans le domaine de 

 l'origine et se réduisent à zéro pour «, = m.j := . . . = u^ = o. La transforma- 

 tion S fait correspondre au point de la variété qui a pour coordonnées cur- 

 vilignes (;/,, Mo, . . ., Ur) un point (^U,, U., . . ., U,.) de la même variété, et 

 les U sont des fonctions liolomorphes des u se réduisant à zéro pour 

 M, =; M, ^ . . . = o. De la considération des substitutions linéaires tangentes 

 et des propriétés bien connues des substitutions linéaires lésultc la propo- 

 sition suivante : 



Les racines de l'équation en S relative à 011 , c'est-à-dire relative à la substitu- 

 tion (U; m), font partie de l'ensemble des racines de l'équation en S relative 

 à la transformation Ç. 



La réponse à la question posée au n" 1 est alors celle-ci : 



Une variété 311^ invariante par G vérifie nécessairement l'équation de Pfaffip) 

 et fournit par suite une multiplicité M,, invariante parT, si parmi les r racines 



(') Sur les équations fonctionnelles qui dcfinisscnl une courbe ou une surface 

 ini'ariante par une transformation {Annn/i di Malematica, 1906, Cliap. VI, ^ .10). 



