SÉANCE DU 5 AVRIL 1909. 9ÔS 



de V équation en S relative à 3\Lr ne figurent ni la racine D, ni des groupes de 

 deux racines associées. 



Indiquons la démonstration en supposant par exemple /• rrr 2, n := 2 et soient x, y, z, 

 p, q les variables. 



La transformation (i) étant de contact, on a l'identité 



(3) dZ — PdX — q dY = p(ic, r, :,p,q) (dz-~ pdx — q dy). 



On démonlre aisément que p(o, o, o, o, o) est égal à D. 



Pour toute variété OTLs invariante, les cinq coordonnées sont fonctions de deux para- 

 mètres «1, «.,. On passe d'un point («,, u^) à son traiisf<irmé (Ui, U5) par une trans- 

 formation qu'on peut ramener à la fi>rme canonique Ui:=SiM|, U2^S.,«2 (cela résulte 

 de résultats connus relatif> à l'équation de Schrœder). Nous supposons que S,, Sj sont 

 des racines non associées et différentes de D. On a alors : 



dz — p dx — q df :=:l(iii, ii^) du, + jji.(m,, u,) da.2, 

 f/Z - P ^X - Q rfY = À( U,, U,) rfU, H- fJi(U„ Uj)^/^, 



et l'identité (3) fournit deu\ équations fonctionnelles que doivent véiifier les fonc- 

 tions )., (JL : 



S, "/(S, «1, S, «j) =:(D +...)'•("!, «2)1 



S,[j.(S,«,, Sjf/j) =(D +. . .)f/.(f/i, M»). 



Sous les hvpotlièses faites au n" 3 sur S, et S,, on démontre que ces deux équations 

 n'ont pas d'autre solution liolonioiplie dans le domaine de te^^it^^o que la so- 

 lution 



À = o, IJ. rzz o, 



d'où 



dz — p d.v — q dy = o. 



Dans l'espace (j', y, :-,p, q) à cinq dimensions, il y aufa en général dix 

 variétés OIl^ invariantes pare et passant par l'origine (trois des coordonnées 

 fonctions holomorphes des deux antres). Sur ces dix variétés, quatre seule- 

 ment fourniront des multiplicités Mj de l'espace {x,y, z) invariantes par la 

 transformation de contact T et contenant l'élément double. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la représentation des solutions d'une équation 

 linéfiire aux différences finies pour les grandes valeurs de ta varialde. Note 

 de M. Galbuux, présentée par M. Painlevé. 



,:.On sait que la recherche des fonctions satisfaisant à l'équation aux diflé- 

 rences finies -c, i -.wi; •;•'.*!; '.i.'î'ii;' 



(1) A„/(.r + /.■) + A, /(..r + /.' — I ) -h. . . + A^. 1\x) — o. 



G. K., uiog, I" Semestre. (T. CXLVIIl, N° 14.) II7 



