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OÙ A; est un polynôme en x de degré p, se ramène, au moyen de la trans- 

 formation 



à la résolution de l'équation différentielle 



dP i' dP'^ V 



(2) 5/'R„(s)^^+ijP-'R,(2)-^j^:rr +...+ Rp(=)(' = o, 



OÙ R, est un polynôme en s de degré k\ le coefficient a, de x^ dans A,- est le 

 coefficient de 5*~' dans R„; je suppose que les racines a, de R» sont simples 

 et qu'aucun des deux nombres a,, a^ n'est nul: on démontre alors que la 

 fonction yj(a;) 



q = p 



f,{œ) = fy,z-' dz _ (e^'A- ,)2 P»/ (^^7.. « + W^^ +■ • •+ 'K.. ^.) d' 

 ■ ■-' v=' '" ' 



est solution de l'équation (i). Dans cette expression, y, est l'intégrale de (2) 

 régulière au voisinage de a, 



j,= (a — «,)''. (f,(s), 



correspondant à l'unique racine X,, en général différente d'un entier positif 

 ou négatif de l'équation déterminante relative à ce point; P, est le coeffi- 

 cient de v^ dans l'expression de y, au voisinage d'un point a en fonction de 

 (^,, ^'2, ..., ^/> intégrales régulières de (2) au voisinage de l'origine, obte- 

 nues par la méthode de M. Fuchs; ^p^^ est le coefficient de (Ls)''"' dans v^ 



et u désigne la fonction ,,^,^^, , . r^ étant l'une des racines de l'équation 



déterminante relative à l'origine; enfin les contours L^ et L, sont issus du 

 point a et entourent, le premier l'origine, le second le point a,, sans 

 comprendre à leur intérieur aucun autre point singulier des solutions 

 de (2). La fonction /,(a;) n'admet comme singularités que des pôles; ce 

 sont les points — r^ — p, p étant un entier positif ou nul. 



Quand la variable x s'éloigne à l'infini avec un argument nr, on peut for- 

 mer des séries divergentes représentant asymptoliquement les k fonctions 

 /i(x). Soit l'une d'elles, f,(x), correspondant au point a,. Si partant de a, 

 avec l'argumenter,, on tourne autour de l'origine dans le sens direct, on ren- 

 contre successivement tous les points a,-; à a, de module r, et d'argument or, 



