SÉANCE DU l3 AVRIL I909. 981 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sitr l'intégration de certaines inéqua- 

 tions fonctionnelles. Nole(') de M. Ar.vaud Denjoy, présentée 

 par M. Painlevé. 



Nous dirons qu'intégrer rinéquatiuii l'unclioniiclle 

 (') / 'i["{j").//(-).x,4"]^;> ?[■*', «(■■'■)]> 



où uÇ'v) est une fonction inconnue, c'est trouver une relation d'inégalité 



(2) ^[u{x). u{x'),x,x']> o. pour x <. x' , 



nécessaire et suffisante pour qu'il existe au moins une fonction V(;) satis- 

 faisant à l'inéquation (3) et prenant pour les valeurs x et x' de la variable \ 

 les valeurs u{x) et u(^x'). 



Il est essentiel de signaler que l'ensemble des valeurs tirées de (2) limi- 

 tant u(x'), quand, x et u(x) restant fixes, x' prend toutes les valeurs pos- 

 sibles, ne constitue pas, en général, une solution de (3), même transformée 

 en égalité. A toute inéquation de la forme (3) est-il possible de faire corres- 

 pondre une relation (4) Vintégrant, au sens que nous venons de donner à ce 

 mot? L'objet de cette Note n'est pas de faire connaître, même dans ses 

 lignes essentielles, la théorie générale des inéquations (3). Je veux seule- 

 ment, en obtenant la relation (4) sur un exemple particulier, montrer 

 comment il semble nécessaire, pour l'existence de la relation (4), de faire 

 relativement aux sens de croissance, des hypothèses préliminaires sur •]/ 

 et !p, d'imposer des conditions à «, comment hypothèses et conditions con- 

 courent à l'existence de o ou la rendent impossible suivant la façon dont 

 leurs sens sont associés. 



Soit l'inéquation 



(3) / <]^{u{x),u{l),x,l]dl<Q'îx,u{x% 



qui doit être vérifiée pour toutes les valeurs de x supérieures à x^. 



Supposons : i" .p(A, tx, a?, ^) croissant selon A, décroissant selon jj. et x, 

 avec '.{;(À, X, a", ^^ = o; 2° 5(^,A) décroissant selon A et croissant avec ^, 

 avec cp(H,Qo') = o. Enfin, o et •]/ sont supposés positifs pour toutes les 



(') Présentée dans la séance du 32 mars 1909. 



C. K., i40y, I" Semestre. ^T. CXLVIII, N» 15.) I27 



