gSU ACADÉMIE DES SCIENCES. 



valeurs de X, ij., .r, ^ et satisfaisant à une condition analogue à celle de 

 Lipschitz. 



Il est à remarquer que, moyennant ces hypothèses, l'inéquation (3) a ce 

 caractère commun avec l'inégalité u(x) <^ M(^)pour a? <^ ^, qu'il est impos- 

 sible (préalablement à toute hypothèse sur la continuité ou la croissance 

 de II) de faire croître indéfiniment u(x) en laissant "(^) constant, 

 pour E ^ X, ou de faire décroître tous les w(^) sans diminuer u(^x). Nous 

 dirons que cette inéquation est du type u(x') <[ m(^) pour x <^^. 



Si nous imposons maintenant à u(x) la condition d'être croissante, c'est- 

 à-dire la condition u(xX^it(l) pour x <^l, nous pourrons intégrer l'iné- 

 quation (3). 



Soit x\ le nombre fonction de x' et de u(x') défini (sans ambiguïté pos- 

 sible) par 



(4) 





Soit V(x), qui dépend en réalité de x, x', uÇx'), la fonction définie, 

 pour .r <[ ,r'| , par 



(5) 



f '.l;[U(.r),U(4),.r.>]rfç+ r ^[U(.r),«(a-').a-,$]r/£==(p[^,U(^)]. 



Alors, si x<^x\, l'inégalité intégrant (3) est u(x) <^ U(a;). 



Si x\<:^ X <lx', l'intégrale de (3) est simplement u(x) <; u(x'). 



Si à la condition u(x) <lu{^) pour a; < ^ on adjoint une inéquation 

 analogue à (5), mais du type u(x)'^ u(^) pour x <^^, l'intégration ne 

 paraît plus pouvoir se faire. On pourrait cependant tirer parti de la con- 

 naissance d'une telle inéquation, si elle s'ajoutait à une première du 

 type u(x)<;.'i(l)- 



Plus généralement, on peut donner pour objet à l'intégration d'une iné- 

 quation fonctionnelle de chercher les relations d'inégalité nécessaires et 

 suffisantes entre «(a-), u(^x'), u(x"), sachant que a? <^a;'<^ a?", .... 



Comme application simple de ce qui précède, on trouve que la condi- 

 tion ^ ",„<C ^'n",n iniposée à une série à termes décroissants, s'intègre par 





, 1 



II' 

 pour n <; n\ i= — —, et seulement par "„> //„ pour ri^ <C " <C "'• '' résulte 



