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nous ne rappellerons pas, pour ne pas allonger cette Note (^voir par 

 evemple Darboux, Théorie des surfaces, t. IV, p. ^!4 ). ( )n démontre d'abord, 

 par des raisonnements et des calculs simples, que les trois fonctions 0,, 

 0., O3 doivent être de la forme 



(1) &,= pfl + rt', 0„= pb ^ b\ 53=;pcH-c', 



OÙ a, b, c sont trois fonctions arbitraires du paramètre a des génératrices 

 de la surface réglée, et «', b', c' leurs dérivées par rapport à ce paramètre. 

 La fonction p est une fonction de a et [3 qui doit vérifier simultanément les 

 deux équations 



dans lesquelles /• est la même fonction que dans l'équation 



0-0 

 ^ '■ Oa. dp 



à laquelle doivent satisfaire les trois fonctions 0,, Oo, O3. L'intégration du 

 système (2) est très facile et donne 



A." 2 A' , i-VB' 



= 



A' A + B' ''' ■ lA + B)^ 



où A et B sont deux fonctions arbitraires des paramètres a et ^ respecti- 

 vement. 



On peut simplifier ces expressions par un clioix convenable de ces para- 

 mètres, qui, jusqu'à présent, sont supposés pris d'une façon quelconque. 

 (3n voit aisément qu'aucune des fonctions A et B ne peut se réduire à une 

 constante. Nous pouvons alors prendre 



K = a. B = p; 



d'où 



= t; ) A 



(« +H}' 



(4) 



L'équation (3) devient alors 



d-O 20 



On tombe sur une équation très connue. C'est l'équation à invariants 



