SÉANCE DU 19 AVRIL 1909. Io35 



égaux dont l'intégrale générale est du second rang (Dakbolx, Théorie des 

 surfaces, t. II, p. r4 J). Cette intégrale générale est 



A et B étant deux fonctions arbitraires de a. et ^ respectivement. De ce (jui 

 précède on peut maintenant tirer les conclusions suivantes : 



Les écjuations de toute surface réglée, n'ayant pas de plan directeur, et 

 rapportée à ses lignes asymptotiques, peuvent se mettre sous la forme (') 



\{cb — bc ) i , ,, „ . ; " \ ; 

 5 h / {h' c" — cb') ch., 



1 ■?. i ne — ca' ) C- , ■' , n •. j 



(.,) i y^ ,^ ^ (c'a -a'c")dx, 



I tiba'— <il>' ) r 



I :; = — ^ h I (a b" — b'a) dy., 



OÙ rt, b, c sont trois fonctions ariiitraires de a. 



La surface S, la plus générale qui lui correspond avec orthogonalité des 

 éléments a pour équations 



Xi = a'^' -\- ■>.- — ^^ ^r -)- / {M a — y a')d'j.. 



\ 3! -t- Lj j 



(G) ' r,= 6'B'+ 2^^ ■ ^ J-+ / (A b" — k'b')d'j.. 



^ ' ' - a + ,i . / 





)dy.. 



où A et B sont deux fonctions arbitraires de a et ^ respectivement. 



Les calculs que nous venons d'indiquer supposent que la surface réglée 

 n'a pas de plan directeur. S'il n'en est pas ainsi, ils doivent être légèrement 

 modifiés. On reconnaît que, dans ce cas, l'équation (3) se réduit à 



ây. di ~~ °' 



( ') M. Kœnigs a obtenu en 188S (Comptes rendus. 2 janvier) les équations d'iiiie 

 surface réglée quelconque rapportée à ses lignes asymptotiques. et cela sans quadra- 

 tures. Mais ses formules ont l'inconvénient de se présenter sous une forme très com- 

 pliquée. 



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