SÉANCE DU 19 AVRIL 1909. IO.>'; 



lorsque les tiansformalions infinitésimales 



n 



(3) \sf = ^lsn{-^-i. '■n)-T- is = i.-?. -x), 



i4 = I 



dx,, 



(4) Y,/=Vr,,,(.r, y,,)^ {. = .,., .....r) 



/,■; 



définissent, respectivement, deux groupes (G) et (H) isomorphes, à r p:ua- 

 mètres; et que X^ et Y^ sont homologues pour chaque valeur de s. 



L'intégration de (i) revient à la détermination d'une famille de transfor- 

 mations finies S du groupe (G); et l'intégration de (2) revient à la déter- 

 mination des transformations finies T, du groupe (H), qui sont, respecti- 

 vement, les homologues des transformations S. De là résulte que, si l'on 

 connaît les équations finies de (G ) et de (H), sous une forme qui mette en 

 évidence la correspondance isomorphique considérée, l'intégration de cha- 

 cune des équations isomorphes données fournit l'intégration de l'autre (' ). 



2. Supposons qu'on ne connaisse pas les équations finies des deux groupes. 

 On pourra encore utiliser l'intégration de l'une des deux équations iso- 

 morphes pour obtenir l'intégration de l'autre. Nous avons montré, en 

 ellét (- ), comment l'intégration de (i) est liée à la détermination des trans- 

 formations infinitésimales de la forme 



qui laissent Lyinvariant. Or, les mêmes fonctions p,( / ), qui fournissent ces 

 transformations U/", sont aussi celles pour lesquelles la transformation 

 homologue 



(6) V/ = Vp,(nY,/ 



laisse M /invariant. Tout revient donc à prouver qu'on peut former, expli- 

 citement, toutes les Uyiaissant L/invariant, dès que L,/= o est intégrée. 

 En effet, toute solution principale a",, . . ., .r„ de (1) peut se représenter 



(') Annales de la Faciillc des Sciences de Toulouse, L NUI, II, i^ig^, p- '"> el 

 Comptes rendus, 8 février 1909. 



(^) Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. X. G, 1896, p. 7.'?.. 



