SÉANCE DU 19 AVRIL 1909. Io39 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la fonction analytique égale au module 

 maximum d' une fonction entière. Note (') de M. Arnaud Denjov, 

 transmise par M. Appell. 



Je me propose d'indiquer quelques propriétés essentielles de la fonction 



M(r) = Max. I F(a;)|, F(a;) étant une fonction entière, lorsqu'on consi- 



|.r| = ,- 



dère M(r) comme une fonction analytique de r qu'on prolonge dans tout 

 le plan des /"("). 



H A-' 



Si F(iF) commence par les termes a -+- bx'" -f-. . . la fonction ^ 



a 



commence par i + x'" + . . . , et M (r ) possède 2 m branches holomorphes à 

 l'origine et dont le développement commence par i ± /•'". Supposons F ré- 

 duite à cette forme. Je signalerai, entre autres propriétés de M(r), les sui- 

 vantes : 



1° Les différents zéros de la fonction multiforme M(r) sonl pour 

 r = ± \ rtZ>o, a et b étant deux zéros quelconques de F et b^ étant imagi- 

 naire conjugué de J). Ils sont simples si a et />„ sont des zéros simples rjuel- 

 conques de F, sauf si « + 6„ = o, auquel cas le zéro est d'ordre .', d'ordre 



-, si a et è sont d'ordres p et q. 



2" La fonction multiforme M(r) possède en général des points critiques 

 algébriques (en infinité dénombrable, comme ceu\ de toute fonction mul- 

 tiforme) faciles à obtenir et peut présenter des points critiques transcen- 

 dants, correspondant (si x = re'^) toujours à des valeurs imaginaires de 6. 



I 1 



Les valeurs p de ces points critiques sont (-^j ou ( — 1 i a étant une 



valeur limite de ic^'^'-rrr—r quand ,î- tend continûment vers l'infini (et a,, 



étant conjugué de a). 



3° Pour r = o, en dehors des 2.m valeurs banales commençant par 

 I rb r"' -(-■.. ., il y a une infinité de valeurs de M(7-), holomorphes ou algé- 

 broïdes suivant les cas, correspondant à des valeurs imaginaires de 0. Pour 

 chacune de ces branches, re'^ tend vers l'une des racines non nulles de 

 l'équation dérivée F'(a;) = o, ou vers l'une de ses conjuguées. 



(') Transmise dans la séance du 5 avril 1909. 



(-) Une étude de M(/'), pour les valeurs réelles de /■ et les déterminations réelles 

 de 9, a été faite par M. Biumentlial (liull. de la Soc. math, de France, 1907, p. 2i3). 



