Io/|() ACADÉMIE DES SCIENCES. 



De l'ensemble des propriétés de M(;-) il résulte que, en général, à une 

 fonction M(r) donnée, il ne correspondra au plus qu'une fonction enlirre 

 [en ne considérant pas comme distinctes de F{x) sa conjuguée F,, (a-), ni 

 les fonctions e"^F(-xe""), a et co étant réels]. Cecin'est pas évident a priori. 

 Car si P et (^ sont deux fonctions holomorphes pour a" = o, à coefficients 

 réels, on peut, étant donné (^, trouver P tel que 



M(/-) = Max.lP(^)H-tQ(j;)|, 



|.r| = r 



cela dans le domaine d'existence de P + H). 



Enfin, pour une valeur réelle de /', M(r) peut avoir une infinité de déter- 

 minations réelles, dont une partie au moins peut surpasser Max. |F(.r)|. 



1 -1- \---r 



Si l'on prend pour F(x) le facteur primaire P(x) = (i — .v)e '' '' , 



la fonction M(r) se compose de trois fonctions analytiques différentes qui 

 sont d"abord F(r) correspondant à = o et F( — /•) pour fj = ~. T^a troi- 

 sième possède seulement yD branches débutant pour r=o par i 



,.,,- 



Ô partant de u (A = ± i , ± 2, . . ., ±; p). J'ai pu montrer que le cercle 



de convergence de toutes ces branches est supérieur à i h Si les points 



critiques algébriques rangés par arguments croissants et compris entre 



et - sont 



2 2 



P 



[en supposant 1(^1,) <^o, I(a^,) > o], a^ pourvu infini tend vers une limite. 

 Si nous menons radialement une coupure de chaque point 11^ à l'infini, la 

 branche qui pour r = o correspond à 



jj-^i 



est uniformisée par les coupures de fi_, et de m, , auxquelles il faut adjoindre 

 leurs symétriques relativement à l'origine. La branche qui pour r^o cor- 

 respond à 



h-x 



est uniformisée par quatre couples de coupures : celles qui partent de «/,, 

 11/,+,, de u^/,, «Al» et leurs symétriques relativement à l'origine. 



