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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les congruences de normales et les 

 transformations de contact. Note de M. Jules Drach. 



Dans un travail récent (^Bulletin de la Société mathématique de France, 

 t. XXVIl, fasc. 1) M. Ratîy vient d'appeler Tatlention sur une classe inté- 

 ressante de transformations de contact : celles qui font correspondre, à 

 une surface quelconque S, une surface 2, de façon que les normales aux 

 points correspondants M, M, se rencontrent. 



Il a déterminé en particulier parmi ces transformations celles pour les- 

 quelles le plan des normales passe par un point fixe, qui dépendent d'une 

 fonction arbitraire de deux arguments et comprennent la plupart des trans- 

 formations de contact classiques (tr. apsidale, podaire, etc.). 



En indiquant des familles étendues, et même tout à fait générales, de ces 

 transformations, je me propose ici de signaler comment leur détermination 

 se rattache à des questions de Géométrie infinitésimale déjà étudiées. 



I. La définition donnée plus haut équivaut à dire que la droite D qui joint 

 les points correspondants et la droite A, commune aux deux éléments plans 

 correspondants, sont orthogonales ; je désignerai pour celte raison par (TO) 

 les transformations de contact considérées. 



Si Ton associe à une transformation de contact quelconque (T), (jui 

 change une surface S en S,, toutes les transformations de contact qui rem- 

 placent respectivement 2 et 2, par des surfaces parallèles, ce qui introduit 

 deux paramètres X et A, dans les formules de la transformation, les coor- 

 données des deux normales MN, M, N, sont indépendantes de A et X, : elles 

 subissent une transformation déterminée, qui est la plus générale parmi 

 celles qui changent une congruence de normales en congruence de normales. 

 (On peut à volonté envisager quatre coordonnées indépendantes ou bien les 

 six coordonnées homogènes de Pliicker liées par une relation quadratique.) 



I^es transformations (TO) changent une congruence de normales en con- 

 gruences de normales, de façon que deux droites correspondantes se 

 coupent. 



Si l'on désigne par (.r, j, s) le point commun aux normales à 2 en 

 M(X, Y, Z) et à 2, en iVl|(X, Y, Z), on peut définir 2 et 2, en partant de 

 la surface S, lieu du point (a;, y, z), qui peut être prise arbitrairement : 

 2 et Hj sont les enveloppes de sphères de rayon variable dont le centre 



