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co étanl défini par la relation 



- ( X- 4- J- -i- ;"' ) -h :i Çi -h / 9i + ; o,; — «t> ( >,) ) .^ o. 



OÙ li's quatre fonctions ç.,, o^, o.,, «I> sonl arhiuaires. En d'autres termes, 

 deucc des relations entre x, y, z-, a:,, ->-,, z, de/iniro/it les trajectoires orthogo- 

 nales de la famille queleonque de sphères 



fo = COIIhl. 

 t 



2. Dans le cas général, l'équation à vérifier [)eut s'écrire 



ox + p dz oy H- 7 oz _ 



o[> , 07 ' 



on l'econnaît que la fonction caractéristique \^\x, y, z,p, y) de la transfor- 

 mation infinitésimale est telle que, pour les surfaces qui satisfont à W = o, 

 les caractéris-tiques de cette équation sont des lignes de courbure. La détermi- 

 nation de V\ en résulte. 



On a d'ailleurs des solutions évidentes : 



dépendant de fonctions arbitraires de trois arguments. 



Je me bornerai à faire observer ici que la transformation classique de 

 Ribaucour, définie avec une surface arbitraire ^ et une sphère fixe S, est une 

 transformation (TO) : 



Si ï; est une surface quelconque, S une spbère lixe, C un cercle normal 

 à ^ en M et normal à S en M„, M^, la transformation fait correspondre à M 

 le point M, tel que le rapport anharmonique des quatre points M, M„, 

 M, , M^ soit constant ; elle est infinitésimale si ce lapport est infiniment voisin 

 de I (\yk\\^ov\, Leçons sur les systèmes orthogonaux. Livre 1, Cliap. 111, §43). 

 La normale en M, à la surface Z,, lieu de ce point, est la tangente au 

 cercle C. 



111. Transformations finies (TO). — Les plus étendues donnent lieu à 

 une seule équation directrice 



J H- (p(a-, r, j:-,, V|, ;,) = o; 



l'équation du premier ordre qui détermine z> s'intègre par l'application de la 

 transformation de Legendre. Sa solution générale dépend d'une fonction 

 ai'bilraire de quatre arguments. 



